Question

如圖：正方形ABCD的邊長為2，E是CD的中點，AF平分∠BAE交BC于F，求CF的長度．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：延長AF交DC的延長線于H，根據(jù)線段中點的定義求出CE=DE=1，再利用勾股定理列式求出AE，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAF=∠EAF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BAF=∠H，然后求出∠EAF=∠H，根據(jù)等角對等邊可得EH=AE，再求出CH，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

CF

BF

=

CH

AB

，再求解即可．

解答：解：如圖，延長AF交DC的延長線于H，
∵E是CD的中點，
∴CE=DE=

1

2

×2=1，
由勾股定理得，AE=

22+12

=

5

，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠EAF，
∵正方形的對邊AB∥CD，
∴∠BAF=∠H，
∴∠EAF=∠H，
∴EH=AE，
∴CH=

5

-1，
∵AB∥CD，
∴△HCF∽△ABF，
∴

CF

BF

=

CH

AB

=

5 -1

2

，
∴CF=2×

5 -1

2+ 5 -1

=3-

5

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵．