【題目】12分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,Rt△OAB的直角頂點(diǎn)Ax軸上,OA=4,AB=3.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng);同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā),以每秒125個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒(0x4)時(shí),解答下列問(wèn)題:

1)求點(diǎn)N的坐標(biāo)(用含x的代數(shù)式表示);

2)設(shè)△OMN的面積是S,求Sx之間的函數(shù)表達(dá)式;當(dāng)x為何值時(shí),S有最大值?最大值是多少?

3)在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)(x, );

2)當(dāng)x=2時(shí),S有最大值,最大值是;

3x的值是2秒或秒.

【解析】試題(1)由勾股定理求出OB,作NPOAP,則NPAB,得出OPN∽△OAB,得出比例式,求出OP、PN,即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo);

2)由三角形的面積公式得出Sx的二次函數(shù),即可得出S的最大值;

3)分兩種情況:∠OMN=90°,則MN∥AB,由平行線得出△OMN∽△OAB,得出比例式,即可求出x的值;

∠ONM=90°,則∠ONM=∠OAB,證出△OMN∽△OBA,得出比例式,求出x的值即可.

試題解析:解:(1)根據(jù)題意得:MA=x,ON=125x

RtOAB中,由勾股定理得:OB==5

NP⊥OAP,如圖1所示:

NP∥AB

∴△OPN∽△OAB,

,

,

解得:OP=x,PN=

點(diǎn)N的坐標(biāo)是(x, );

2)在OMN中,OM=4﹣x,OM邊上的高PN= ,

S=OMPN=4﹣x =﹣ +x

Sx之間的函數(shù)表達(dá)式為S=﹣ +x0x4),

配方得:S=﹣ +,

0,

∴S有最大值,

當(dāng)x=2時(shí),S有最大值,最大值是;

3)存在某一時(shí)刻,使△OMN是直角三角形,理由如下:

分兩種情況:∠OMN=90°,如圖2所示:

MN∥AB,

此時(shí)OM=4﹣x,ON=125x,

∵M(jìn)N∥AB,

∴△OMN∽△OAB

,

,

解得:x=2

∠ONM=90°,如圖3所示:

∠ONM=∠OAB

此時(shí)OM=4﹣x,ON=125x,

∵∠ONM=∠OAB∠MON=∠BOA,

∴△OMN∽△OBA

,

,

解得:x=;

綜上所述:x的值是2秒或秒.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖已知點(diǎn)A(1,a是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn),直線與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為點(diǎn)B、D,B(3,﹣1),

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)求點(diǎn)D坐標(biāo),并直接寫出y1y2時(shí)x的取值范圍

(3)動(dòng)點(diǎn)Px,0)x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)當(dāng)線段PA與線段PB之差達(dá)到最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)

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1)作出ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的A1B1C1,并直接寫出C1點(diǎn)的坐標(biāo);

2)作出ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的A2B2C2,并直接寫出B2的坐標(biāo).

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【題目】某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品,每件的成本是50元,為了合理定價(jià),投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,銷售單價(jià)是100元時(shí),每天的銷售量是50件,而銷售單價(jià)每降低1元,每天就可多售出5件,但要求銷售單價(jià)不得低于成本

1當(dāng)銷售單價(jià)為70元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)是多少?

2求出每天的銷售利潤(rùn)y與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量的取值范圍;

3如果該企業(yè)每天的總成本不超過(guò)7000元,那么銷售單價(jià)為多少元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量

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【題目】ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,將△ABC沿y軸翻折得到△A1B1C1,再將△A1B1C1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2;已知A(﹣14),B(﹣22),C0,1

1)請(qǐng)依次畫出△A1B1C1和△A2B2C2

2)若直線A1B2與一個(gè)反比例函數(shù)圖象在第一象限交于點(diǎn)A1,試求直線A1B2和這個(gè)反比例函數(shù)的解析式.

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1)若商場(chǎng)平均每天要贏利1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?

2)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)平均每天贏利最多?

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【題目】如圖所示,一動(dòng)點(diǎn)從半徑為2O上的A0點(diǎn)出發(fā),沿著射線A0O方向運(yùn)動(dòng)到O上的點(diǎn)A1處,再向左沿著與射線A1O夾角為60°的方向運(yùn)動(dòng)到O上的點(diǎn)A2處;接著又從A2點(diǎn)出發(fā),沿著射線A2O方向運(yùn)動(dòng)到O上的點(diǎn)A3處,再向左沿著與射線A3O夾角為60°的方向運(yùn)動(dòng)到O上的點(diǎn)A4處;A4A0間的距離是_____;…按此規(guī)律運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A2019處,則點(diǎn)A2019與點(diǎn)A0間的距離是_____

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1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

2)點(diǎn) P 為線段 BE 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn) P x 軸的平行線,當(dāng)△CDE 被這條平行線分成面積相等的兩部分時(shí),求點(diǎn) P 的坐標(biāo).

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【題目】在矩形ABCD中,AB=12,P是邊AB上一點(diǎn),把PBC沿直線PC折疊,頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)BBECG,垂足為E且在AD上,BEPC于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若點(diǎn)EAD的中點(diǎn),求證:AEB≌△DEC;

(2)如圖2,①求證:BP=BF;

②當(dāng)AD=25,且AE<DE時(shí),求cosPCB的值;

③當(dāng)BP=9時(shí),求BEEF的值.

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