Question

20．直角梯形有內(nèi)切圓O（設(shè)其半徑為R），AC與BD的交點(diǎn)為M，證明：S_△BCM=R²．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)AB、BC、CD與⊙O相切于點(diǎn)E、H、F．作BG⊥CD于G，連接EM、MF．只要證明E、M、F共線，根據(jù)S_△AMD=$\frac{1}{2}$S_矩形AEFD=R²，再證明S_△BCD=S_△ACD即可解決問題．

解答 解：如圖，設(shè)AB、BC、CD與⊙O相切于點(diǎn)E、H、F．作BG⊥CD于G，連接EM、MF．

設(shè)BH=BE=x，CH=CF=y，
∵四邊形ABCD是直角梯形，則四邊形AEFD是矩形，
∴∠ADC=∠DAB=90°，AE=DF=R，AD=2R，
在Rt△BCG中，∵BC²=CG²+BG²，
∴（x+y）²=（y-x）²+4R²，
∴R²=xy，即$\frac{R}{y}$=$\frac{x}{R}$=$\frac{R+x}{R+y}$，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AB}{CD}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AM}{MC}$，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AM}{CM}$，∵∠EAM=∠FCM，
∴△AEM∽△CFM，
∴∠AEM=∠MFC，
∴E、M、F共線，
∴S_△AMD=$\frac{1}{2}$S_矩形AEFD=R²，
∵S_△BCD=S_△ACD，
∴S_△BCM=S_△AMD=R²．

點(diǎn)評 本題考查直角梯形的內(nèi)切圓、切線長定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，證明E、M、F三點(diǎn)共線是解題突破口，屬于中考壓軸題．