Question

4．如圖，點(diǎn)A、B在⊙O上，點(diǎn)C是OB延長線上一點(diǎn)，∠AOB=2∠BAC．
（1）求證：AC是O的切線；
（2）若⊙O的半徑是2，BA=BC，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠BAC=x°，由已知得∠AOB=2x°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠OAB，從而得出∠OAC=90°，即可得出AC是O的切線；
（2）根據(jù)BA=BC，∠AOB=2∠BAC，可證明△OAB為等邊三角形，陰影部分的面積=S_△OAC-S_扇形AOB．

解答 解：（1）設(shè)∠BAC=x°，
∵∠AOB=2∠BAC，
∴∠AOB=2x°，
∴∠OAB=90-x，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°-x°+x°=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是O的切線；
（2）∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠AOB=2∠BAC，
∴∠AOB=∠BAC+∠BCA，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠OCA=30°，
∵OA=2，
∴AC=$\sqrt{3}$，OC=2，
∴S_陰影=S_△OAC-S_扇形AOB
=$\frac{1}{2}$OA•AC-$\frac{60π•4}{360}$
=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π
=$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定以及扇形面積的計(jì)算，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．