Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=（x＞0，m＞1）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)B（0，﹣m）是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，連接AB，AC⊥AB，交y軸于點(diǎn)C，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使得AD=AC，過點(diǎn)A作AE平行于x軸，過點(diǎn)D作y軸平行線交AE于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)m=3時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）DE=　 　，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；

（3）連接BD，過點(diǎn)A作BD的平行線，與（2）中的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，當(dāng)m為何值時(shí)，以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，6）；（2）1，y=（x＞2）；（3）m=2時(shí)，以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】（1）根據(jù)題意代入m值即可求得；

（2）利用ED∥y軸，AD=AC構(gòu)造全等三角形將求DE轉(zhuǎn)化為求FC，再利用三角形相似求出FC；用m表示D點(diǎn)坐標(biāo)，利用代入消元法得到y與x函數(shù)關(guān)系．

（3）數(shù)值上線段中點(diǎn)坐標(biāo)等于端點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù)，坐標(biāo)系中同樣可得線段中點(diǎn)橫縱坐標(biāo)分別是端點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的平均數(shù)，利用此方法表示出F點(diǎn)坐標(biāo)代入（2）中函數(shù)關(guān)系式即可．

（1）當(dāng)m=3時(shí)，y=，

∴當(dāng)x=3時(shí)，y=6，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，6）；

（2）如圖，延長(zhǎng)EA交y軸于點(diǎn)F，

∵DE∥x軸

∴∠FCA=∠EDA，∠CFA=∠DEA，

∵AD=AC，

∴△FCA≌△EDA，

∴DE=CF，

∵A（m，m2﹣m），B（0，﹣m），

∴BF=m2﹣m﹣（﹣m）=m2，AF=m，

∵Rt△CAB中，AF⊥x軸，

∴△AFC∽△BFA，

∴AF2=CFBF，

∴m2=CFm2，

∴CF=1，

∴DE=1，

故答案為：1；

由上面步驟可知，點(diǎn)E坐標(biāo)為（2m，m2﹣m），

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2m，m2﹣m﹣1），

∴x=2m，

y=m2﹣m﹣1，

∴把m=代入y=m2﹣m﹣1，

∴y=（x＞2）；

（3）由題意可知，AF∥BD

當(dāng)AD、BF為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，

由平行四邊形對(duì)角線互相平分可得A、D和B、F的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等

設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，b）

∴a+0=m+2m

b+（﹣m）=m2﹣m+m2﹣m﹣1

∴a=3m，b=2m2﹣m﹣1

代入y=，得

2m2﹣m﹣1=，

解得m1=2，m2=0（舍去）

當(dāng)FD、AB為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，

同理設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，b），

則a=﹣m，b=1﹣m，則F點(diǎn)在y軸左側(cè)，由（2）可知，點(diǎn)D所在圖象不能在y軸左側(cè)

∴此情況不存在，

綜上當(dāng)m=2時(shí)，以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．