Question

【題目】如圖，以AB為直徑作⊙O，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)AC，連結(jié)BC，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)AE．

（1）求證：∠AEB=2∠C；

（2）若AB=6，，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】分析：（1）由AC是⊙O的切線(xiàn)，得出∠BAC=90°．再利用直角三角形斜邊中線(xiàn)定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角即可證出結(jié)論；

（2）連結(jié)AD，由圓周角定理的推論可得出∠ABD=90°．然后利用銳角三角函數(shù)即可得出答案.

詳解：（1）證明：∵AC是⊙O的切線(xiàn)，

∴∠BAC=90°，

∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，

∴AE=EC，

∴∠C=∠EAC，

∵∠AEB=∠C+∠EAC，

∴∠AEB=2∠C．

（2）解：連結(jié)AD．

∵AB為直徑作⊙O，

∴∠ABD=90°，

∵AB=6，，

∴BD=，

在Rt△ABC中，AB=6，，

∴BC=10，

∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，

∴BE=5，

∴．