Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動，過點(diǎn)E作EF∥AD交邊AB于點(diǎn)F．將△BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF，直線FG、EG分別交AD于點(diǎn)M、N，當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)E即停止運(yùn)動．設(shè)BE=x，△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y．

（1）證明△AMF是等腰三角形；
（2）當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)（如圖（3）），求x的值；
（3）將y表示成x的函數(shù)，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，∵EF∥AD，

∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．

∵△GFE與△BFE關(guān)于EF對稱，

∴△GFE≌△BFE，

∴∠GFE=∠BFE，

∴∠A=∠AMF，

∴△AMF是等腰三角形

（2）

解：如圖1，作DQ⊥AB于點(diǎn)Q，

∴∠AQD=∠DQB=90°．

∵AB∥DC，

∴∠CDQ=90°．

∵∠B=90°，

∴四邊形CDQB是矩形，

∴CD=QB=2，QD=CB=6，

∴AQ=10﹣2=8．

在Rt△ADQ中，由勾股定理得

AD= =10，

∴tan∠A= ，

∴tan∠EFB= =

如圖3，∵EB=x，

∴FB= x，CE=6﹣x，

∴AF=MF=10﹣ x，

∴GM= ，

∴GD=2x﹣ ，

∴DE= ﹣x，

在Rt△CED中，由勾股定理得

（ ﹣x）2﹣（6﹣x）2=4，

解得：x= ，

∴當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)x= ；

（3）

解：當(dāng)點(diǎn)G在梯形ABCD內(nèi)部或邊AD上時(shí)，

y= x x= x2，

當(dāng)點(diǎn)G在邊AD上時(shí)，GM= =0，求得x= ，

此時(shí)0＜x≤ ，

則當(dāng)x= 時(shí)，y最大值為 ．

當(dāng)點(diǎn)G在梯形ABCD外時(shí)，

∵△GMN∽△GFE，

∴ ，

即 ，由（2）知，x≤ ，

y=﹣2x2+20x﹣ =﹣2（x﹣5）2+ （ ＜x≤ ），

當(dāng)x=5時(shí)，y最大值為 ，

由于 ＞ ，故當(dāng)x=5時(shí)，y最大值為

【解析】（1）由條件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE與△BFE關(guān)于EF對稱可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，從而得出結(jié)論；（2）當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情況討論當(dāng)點(diǎn)G不在梯形外時(shí)和點(diǎn)G在梯形之外兩種情況求出x的值就可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，在自變量的取值范圍內(nèi)就可以求出相應(yīng)的最大值，從而求出結(jié)論；
【考點(diǎn)精析】掌握等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．