Question

15．如圖，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處，折痕與邊BC交于點(diǎn)O，AD=8，連結(jié)AP、OP、OA．
（1）求證：△ADP∽△PCO；
（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；
（3）若圖中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)得到∠APO為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；
（2）根據(jù)兩三角形面積之比，確定出相似比，進(jìn)而求出PC的長，設(shè)AB=x，表示出DP，利用勾股定理求出x的值，即可確定出AB的長；
（3）若P為CD中點(diǎn)，則有DP=PC=$\frac{1}{2}$DC，再由DC=AB，得到DP=$\frac{1}{2}$AP，進(jìn)而確定出∠DAP度數(shù)，即可求出所求角度數(shù)．

解答 （1）證明：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=CD，
由折疊可得∠APO=∠B=90°，AB=AP，
∴∠DPA+∠OPC=90°，
∵∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠DAP=∠OPC，
∴△ADP∽△PCO；
（2）解：∵△ADP∽△PCO，且面積比為4：1，
∴相似比為2：1，即$\frac{AD}{PC}$=2，
∵AD=8，
∴PC=4，
設(shè)AB=DC=AP=x，則有DP=DC-PC=x-4，
在Rt△ADP中，根據(jù)勾股定理得：x²=8²+（x-4）²，
解得：x=10，
則AB=10；
（3）∵P為DC中點(diǎn)，
∴PD=PC=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AP，
在Rt△ADP中，DP=$\frac{1}{2}$AP，
∴∠DAP=30°，
由折疊可得∠OAB=∠OAP，
∴∠OAB=30°．

點(diǎn)評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．