Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E為CD的中點，交BC的延長線于F；
（1）證明：EF=EA；
（2）過D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．

Answer 1

（1）證明：
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．
∵E為CD的中點，
∴ED=EC．
∴△ADE≌△FCE（AAS）．
∴EF=EA．

（2）解：連接GA，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB=90°．
∵DG⊥BC，
∴四邊形ABGD是矩形．
∴BG=AD，GA=BD．
∵BD=BC，
∴GA=BC．
由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=FC．
∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．
∵由（1）得EF=EA，
∴EG⊥AF．
分析：（1）求簡單的線段相等，可證它們所在的三角形全等，即證明△ADE≌△FCE即可；
（2）由（1）知FE=EA，若EG⊥AF，則△AGF必為等腰三角形，因此可連接AG，證AG=GF；
易知四邊形ABGD是矩形，則AG=BD=DC，AD=BG；由（1）知：AD=CF=BG，即可證得AG=FG=BC，進而可根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出所求的結(jié)論．
點評：此題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強，難度較大．