Question

如圖，拋物線y=

1

2

x2+bx+c（b，c是常數(shù)，且c＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)OA的長(zhǎng)度；
（2）若常數(shù)b，c滿足關(guān)系式：bc=3．求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．設(shè)△PBC的面積為S．
①求S的取值范圍；
②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的點(diǎn)P共有多少個(gè)（直接寫出結(jié)果）？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)寫出OA的長(zhǎng)度即可；
（2）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式用c表示出b，然后代入bc=3計(jì)算求出c的值，再求出b的值，即可得解；
（3）①根據(jù)拋物線解析式令y=0解方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到OB的長(zhǎng)，再分點(diǎn)P在y軸左邊時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，然后根據(jù)△PBC的面積S=S_梯形PCOD+S_△BOC-S_△PBD，列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出取值范圍；點(diǎn)P在y軸右邊時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，然后根據(jù)△PBC的面積S=S_梯形PCOD+S_△PBD-S_△BOC列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解；
②根據(jù)S的取值范圍分兩部分確定出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)即可得解．

解答：解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴OA=1；

（2）把點(diǎn)A（-1，0）代入拋物線得，

1

2

-b+c=0，
∴b=c+

1

2

，
∵bc=3，
∴（c+

1

2

）c=3，
整理得，2c²+c-6=0，
解得c₁=

3

2

（舍去），c₂=-2，
∴b=-2+

1

2

=-

3

2

，
拋物線解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（3）①令y=0，則

1

2

x²-

3

2

x-2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
∴OB=4，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，
點(diǎn)P在y軸左邊時(shí)，-1＜x＜0，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，
△PBC的面積S=S_梯形PCOD+S_△BOC-S_△PBD，
=

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2+2）•（-x）+

1

2

×4×2-

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2）•（4-x），
=x²-4x，
∵x＜2時(shí)，S隨x的增大而減小，
∴0＜S＜5；
點(diǎn)P在y軸右邊時(shí)，0＜x＜4，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，
△PBC的面積S=S_梯形PCOD+S_△PBD-S_△BOC，
=

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2+2）•x+

1

2

（-

1

2

x²+

3

2

x+2）•（4-x）+

1

2

×2×4，
=-x²+4x，
=-（x-2）²+4，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值4，
∴0＜S≤4；
綜上所述，S的取值范圍是0＜S＜5；
②點(diǎn)P在y軸左邊時(shí)，S可取的整數(shù)值為1、2、3、4，點(diǎn)P有4個(gè)，
點(diǎn)P在y軸右邊時(shí)，S可取的整數(shù)值有1、2、3、4，點(diǎn)P有7個(gè)，
所以，使△PBC的面積S為整數(shù)的點(diǎn)P共有11個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積表示，二次函數(shù)的對(duì)稱性以及二次函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍的求解，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．