Question

如圖,在梯形中,,．點(diǎn),,分別在邊,,上,．

（1）求證：四邊形是平行四邊形;
（2）當(dāng)時(shí),求證：四邊形是矩形．

Answer 1

證明見(jiàn)解析．

試題分析：（1）要證明該四邊形是平行四邊形,只需證明AE∥FG．根據(jù)對(duì)邊對(duì)等角∠GFC=∠C,和等腰梯形的性質(zhì)得到∠B=∠C．則∠B=∠GFC,得到AE∥FG．
（2）在平行四邊形的基礎(chǔ)上要證明是矩形,只需證明有一個(gè)角是直角．根據(jù)三角形FGC的內(nèi)角和是180°,結(jié)合∠FGC=2∠EFB和∠GFC=∠C,得到∠BFE+∠GFC=90°．則∠EFG=90°．
試題解析：（1）∵在梯形ABCD中,AB=DC,
∴∠B=∠C．
∵GF=GC,
∴∠C=∠GFC,
∴AB∥GF,即AE∥GF．
∵AE=GF,
∴四邊形AEFG是平行四邊形;
（2）∵∠FGC+∠GFC+∠C=180°,∠GFC=∠C,∠FGC=2∠EFB,
∴2∠GFC+2∠EFB=180°,
∴∠BFE+∠GFC=90°．
∴∠EFG=90°．
∵四邊形AEFG是平行四邊形,
∴四邊形AEFG是矩形．