Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)M，

（1）求△ABC的面積；
（2）若p是x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線BC的距離的最大值；
（3）若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A），當(dāng)∠PCB=∠BCA時(shí)，求直線PC的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，則有﹣ x2+4x﹣6=﹣ （x﹣2）（x﹣6）=0，

解得：x1=2，x2=6，

即點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（6，0）．

令x=0，則y=﹣6，

即點(diǎn)C（0，6）．

∴AB=4，CO=6．

△ABC的面積S△ABC= ABCO= ×4×6=12

（2）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∵點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)C（0，﹣6），

∴有 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=x﹣6．

設(shè)經(jīng)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P且平行于直線BC的直線解析式為y1=x+a．

將y1=x+a代入拋物線y=﹣ x2+4x﹣6中得： x2﹣3x+6+a=0，

若直線y1=x+a與拋物線相切，則有：

△=（﹣3）2﹣4× ×（6+a）=0，即3+2a=0，

解得：a=﹣ ．

∴ ﹣3x+6﹣ =0，即x2﹣6x+9=0，

解得：x=3，

將x=3代入y1=x﹣ ，得y1= ，

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3， ）在x軸上方．

∵直線BC的解析式為x﹣y﹣6=0，

∴點(diǎn)P到直線BC的距離= = ．

故點(diǎn)P到直線BC的距離的最大值為

（3）

解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC與點(diǎn)E，并延長(zhǎng)AE交直線CP與點(diǎn)D，如圖所示．

∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)C（0，﹣6），

∴AB=4，OA=2，OC=6，OB=6．

由勾股定理可知：AC= =2 ，BC= =6 ，

∴sin∠OBC= = = ，AE=2 ．

∵∠PCB=∠ACB，且BC⊥AD，

∴CD=CA=2 ，DE=AE=2 （等腰三角形三線合一），

∴AD=AE+DE=4 ．

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，n），

則由兩點(diǎn)間的距離公式可知，

，解得 （舍去）或 ．

即此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，﹣4）．

設(shè)直線CP的解析式為y=k1x﹣6，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

﹣4=6k1﹣6，解得：k1= ．

∴若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A），當(dāng)∠PCB=∠BCA時(shí)，直線PC的解析式為y= x﹣6．

【解析】（1）令x=0，可得點(diǎn)C坐標(biāo)，令y=0，可得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，再結(jié)合三角形面積公式，即可得出結(jié)論；（2）找與直線BC平行且過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的直線，令此直線與拋物線相切，看切點(diǎn)P是否在x軸上方，如果在，則切點(diǎn)P到直線BC的距離就是所求最大距離，若不在，只需考慮端點(diǎn)A、B到直線BC的距離即可；（3）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC與點(diǎn)E，并延長(zhǎng)AE交直線CP與點(diǎn)D，巧妙利用等腰三角形的三線合一，找出AD、CD的長(zhǎng)度，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論，不過(guò)此處要注意到會(huì)產(chǎn)生增根．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．