Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC于C，A（0，

11

2

），B（-6，0），連接BD，交y軸于點(diǎn)E，tan∠DBC=

1

2

（1）求直線BD的解析式；
（2）點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PH⊥BD于H，設(shè)HE的長為y（y≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接AP，以AP為直徑的圓交線段BD于Q，當(dāng)tan∠APQ=

1

2

時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）先在Rt△BOE中，根據(jù)正切函數(shù)的定義求出EO=3，則E（0，3），再設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，將B，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥BD于F，將y=

11

2

代入y=

1

2

x+3，求出x=5，得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

11

2

），解Rt△BEF，求出BE=3

5

，BF=

15

2

．根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△BPH∽△BDC，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

BP

BD

=

BH

BC

，解得BH=

2 5 t

5

．由于HE的長y≠0，所以t≠

15

2

．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0≤t＜

15

2

時(shí)，由BE-HE=

2 5 t

5

，得出y=3

5

-

2 5 t

5

；②當(dāng)

15

2

＜t≤11時(shí)，由BE+EH=

2 5 t

5

，得出y=

2 5 t

5

-3

5

；
（3）先由直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠AQP=90°，再過點(diǎn)Q作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△AQN∽△QPM，則

AQ

PQ

=

AN

QM

=

QN

PM

=

1

2

，設(shè)AN=a，則QM=2a，OM=a．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0≤t＜

15

2

時(shí)，在Rt△BQM中，由

QM

BM

=

2a

a+6

=

1

2

，求出a=2，則NQ=MN-QM=

3

2

，PM=2NQ=3，再根據(jù)PM=BM-BP=8-t，得8-t=3，求出t₁=5；②當(dāng)

15

2

＜t≤11時(shí)，設(shè)AN′=b，則Q′M′=2b，OM′=b，在Rt△BQ′M′中，由

Q′M′

BM′

=

2b

6-b

=

1

2

，求出b=

6

5

，則N′Q′=M′N′-Q′M′=

31

10

，P′M′=2N′Q′=

31

5

，再根據(jù)P′M′=BP′-BM′=t-

24

5

，得t-

24

5

=

31

5

，求出t₂=11．

解答：解：（1）在Rt△BOE中，∵∠EOB=90°，OB=6，
∴tan∠EBO=

EO

BO

=

1

2

，
∴EO=

1

2

BO=3，
∴E（0，3）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
∵B（-6，0），E（0，3），
∴

-6k+b=0 b=3

，
解得

k= 1 2 b=3

，
∴直線BD的解析式為y=

1

2

x+3；

（2）如圖1，過點(diǎn)E作EF⊥BD于F，
∵y=

1

2

x+3，
∴當(dāng)y=

11

2

時(shí)，

1

2

x+3=

11

2

，
解得x=5，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

11

2

）．
在Rt△BEF中，∵∠FEB=90°，BE=

OB2+OE2

=

62+32

=3

5

，
∴BF=

BE

cos∠EBF

=

3 5

6 3 5

=

15

2

．
∵△BPH∽△BDC，
∴

BP

BD

=

BH

BC

，即

t

112+( 11 2 )2

=

BH

11

，
解得BH=

2 5 t

5

．
分兩種情況：
①當(dāng)0≤t＜

15

2

，即點(diǎn)P在BF上，點(diǎn)H在BE上時(shí)，
∵BE-HE=

2 5 t

5

，
∴3

5

-y=

2 5 t

5

，
∴y=3

5

-

2 5 t

5

；
②當(dāng)

15

2

＜t≤11，即點(diǎn)P在FC上，點(diǎn)H在ED上時(shí)，
∴BE+EH=

2 5 t

5

，
∴3

5

+y=

2 5 t

5

，
∴y=

2 5 t

5

-3

5

；
綜上可知，y=

3 5 - 2 5 t 5 (0≤t＜ 15 2 ) 2 5 t 5 -3 5 ( 15 2 ＜t≤11)

；

（3）∵AP為直徑，∴∠AQP=90°．
過點(diǎn)Q作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N．
∵∠PQM+∠AQN=90°，∠QAN+∠AQN=90°，
∴∠QAN=∠PQM，
又∵∠QNA=∠PMQ=90°，
∴△AQN∽△QPM，
∴

AQ

PQ

=

AN

QM

=

QN

PM

=

1

2

，
設(shè)AN=a，則QM=2a，OM=a．
分兩種情況：
①當(dāng)0≤t＜

15

2

時(shí)，如圖3，
在Rt△BQM中，

QM

BM

=

2a

a+6

=

1

2

，解得a=2，
∴NQ=MN-QM=

11

2

-4=

3

2

，
∴PM=2NQ=3，
∵PM=BM-BP=8-t，
∴8-t=3，∴t₁=5；
②當(dāng)

15

2

＜t≤11時(shí)，如圖4，
設(shè)AN′=b，則Q′M′=2b，OM′=b，
在Rt△BQ′M′中，

Q′M′

BM′

=

2b

6-b

=

1

2

，解得b=

6

5

，
∴N′Q′=M′N′-Q′M′=

11

2

-

12

5

=

31

10

，
∴P′M′=2N′Q′=

31

5

，
∵P′M′=BP′-BM′=t-

24

5

，
∴t-

24

5

=

31

5

，∴t₂=11．
綜上可知，當(dāng)tan∠APQ=

1

2

時(shí)，t的值為5秒或11秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式，銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．