Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸x=1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=1上的一動(dòng)點(diǎn)，求使∠PCB=90°的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3．（2）M（1，－2）．（3 P（1，－4）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱，若連接BC，那么BC與直線x=1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M；可先求出直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程即可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若∠PCB=90°，根據(jù)△BCO為等腰直角三角形，可推出△CDP為等腰直角三角形，根據(jù)線段長(zhǎng)度求P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，且A（﹣1，0），∴B（3，0）；

可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），由于拋物線經(jīng)過C（0，﹣3），則有：a（0+1）（0﹣3）=﹣3，a=1，∴y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3；

（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x=1對(duì)稱，那么M點(diǎn)為直線BC與x=1的交點(diǎn)；

由于直線BC經(jīng)過C（0，﹣3），可設(shè)其解析式為y=kx﹣3，則有：3k﹣3=0，k=1；

∴直線BC的解析式為y=x﹣3；

當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣3=﹣2，即M（1，﹣2）；

（3）設(shè)經(jīng)過C點(diǎn)且與直線BC垂直的直線為直線l，作PD⊥y軸，垂足為D；

∵OB=OC=3，∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，∴P（1，﹣4）．