Question

15．如圖，正方形ABCD是一張邊長為12公分的皮革．皮雕師傅想在此皮革兩相鄰的角落分別切下△PDQ與△PCR后得到一個五邊形PQABR，其中PD=2DQ，PC=RC，且P、Q、
R三點分別在CD、AD、BC上，如圖所示．
（1）當皮雕師傅切下△PDQ時，若DQ長度為x公分，請你以x表示此時△PDQ的面積． 
（2）承（1），當x的值為多少時，五邊形PQABR的面積最大？請完整說明你的理由并求出答案．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件表示出PD，從而得到△PDQ的面積；
（2）分別求出正方形ABCD的面積，△PDQ，△PCR的面積，再作差求出五邊形的面積，最后確定出取極值時的x值．

解答 解：（1）設DQ=x公分，
∴PD=2DQ=2x公分，
∴S_△PDQ=$\frac{1}{2}$x×2x=x²（平方公分），
（2）∵PD=2x公分，CD=12公分，
∴PC=CR=12-2x（公分），
∴S_{五邊形PQABR}=S_{正方形ABCD}-S_△PDQ-S_△PCR
=12²-x²-$\frac{1}{2}$（12-2x）²
=144-x²-$\frac{1}{2}$（144-48x+4x²）
=144-x²-72+24x-2x²
=-3x²+24x+72
=-3（x²-8x+4²）+72+3×16
=-3（x-4）²+120，
故當x=4時，五邊形PQABR有最大面積為120平方公分．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形面積的計算，五邊形面積的計算方法，解本題的關鍵是三角形的面積的計算．