Question

11．觀察以下一系列等式：①2¹-2⁰=2-1=2⁰；②2²-2¹=4-2=2¹；
③2³-2²=8-4=2²；④_____：…
（1）請按這個順序仿照前面的等式寫出第④個等式：2⁴-2³=16-8=2³；
（2）根據(jù)你上面所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用含字母n的式子表示第n個等式：2ⁿ-2^（n-1）═2^（n-1），并說明這個規(guī)律的正確性；
（3）請利用上述規(guī)律計算：2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知規(guī)律寫出④即可．
（2）根據(jù)已知規(guī)律寫出n個等式，利用提公因式法即可證明規(guī)律的正確性．
（3）寫出前101個等式，將這些等式相加，整理即可得出答案．

解答 解：（1）根據(jù)已知等式：
①2¹-2⁰=2-1=2⁰；
②2²-2¹=4-2=2¹；
③2³-2²=8-4=2²；
得出以下：
④2⁴-2³=16-8=2³，
故答案為：2⁴-2³=16-8=2³．

（2）①2¹-2⁰=2-1=2⁰；
②2²-2¹=4-2=2¹；
③2³-2²=8-4=2²；
④2⁴-2³=16-8=2³；
得出第n個等式：
2ⁿ-2^（n-1）=2^（n-1）；
證明：
2ⁿ-2^（n-1），
=2^（n-1）×（2-1），
=2^（n-1）；
故答案為：2ⁿ-2^（n-1）=2^（n-1）；

（3）根據(jù)規(guī)律：
2¹-2⁰=2-1=2⁰；
2²-2¹=4-2=2¹；
2³-2²=8-4=2²；
2⁴-2³=16-8=2³；
…
2¹⁰¹-2¹⁰⁰=2¹⁰⁰；
將這些等式相加得：
2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰，
=2¹⁰¹-2⁰，
=2¹⁰¹-1．
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1．

點評 題目考查了數(shù)字的規(guī)律變化，解決此類問題的關(guān)鍵是找到序號和變化數(shù)字的關(guān)系，另外題目涉及證明和運算，對學(xué)生的考察能力有了更高的要求，題目整體艱難，適合課后培優(yōu)訓(xùn)練．