Question

17．如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)F=$\sqrt{2}$AE；
（2）將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE，請(qǐng)判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）在圖②的基礎(chǔ)上，將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷（2）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③寫(xiě)出證明過(guò)程；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，結(jié)論：AF=$\sqrt{2}$AE，只要證明△AEF是等腰直角三角形即可．
（2）如圖②中，結(jié)論：AF=$\sqrt{2}$AE，連接EF，DF交BC于K，先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可．
（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=$\sqrt{2}$AE，連接EF，延長(zhǎng)FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA，再證明△AEF是等腰直角三角形即可．

解答 解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=$\sqrt{2}$AE．

理由：∵四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．
故答案為AF=$\sqrt{2}$AE．

（2）如圖②中，結(jié)論：AF=$\sqrt{2}$AE．

理由：連接EF，DF交BC于K．
∵四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴∠EKF=180°-∠DKE=135°，EK=ED，
∵∠ADE=180°-∠EDC=180°-45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EK=ED}\\{∠EKF=∠ADE}\\{KF=AD}\end{array}\right.$，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．

（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=$\sqrt{2}$AE．

理由：連接EF，延長(zhǎng)FD交AC于K．
∵∠EDF=180°-∠KDC-∠EDC=135°-∠KDC，
∠ACE=（90°-∠KDC）+∠DCE=135°-∠KDC，
∴∠EDF=∠ACE，
∵DF=AB，AB=AC，
∴DF=AC
在△EDF和△ECA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AC}\\{∠EDF=∠ACE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△ECA，
∴EF=EA，∠FED=∠AEC，
∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點(diǎn)，屬于中考�？碱}型．