Question

（1）如圖①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=4，BC=7，則梯形ABCD的周長是

 

．
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，DE∥AC，DE交AB于點E，M為BE的中點，連接DM．在不添加任何輔助線和字母的情況下，圖中的等腰三角形共有

 

個．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質,等腰三角形的判定

專題：

分析：（1）過點A作BC的垂線AE，從而可求得BE的長，根據(jù)三角函數(shù)可求得AB的長，從而就可求得梯形的周長了；
（2）由已知條件，得到角相等，根據(jù)等角對等邊，找出題中兩條邊相等的三角形，利用題中的已知條件證明即可．

解答：解：（1）過點A作BC的垂線AE，
則BE=

1

2

（BC-AD）=

3

2

，
在直角三角形△ABE中，cosB=

BE

AB

=

1

2

，
因而AB=3，則梯形ABCD的周長是4+7+3+3=17．

（2）等腰三角形有△MBD、△MDE、△EAD共3個．
依據(jù)：MD是直角△BED斜邊上的中線，則BM=ME=DM，因而△BMD和△MDE是等腰三角形；
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD，
又∵∠CAD=∠EAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴△AED是等腰三角形．
故答案為：17，3．

點評：此題考查等腰梯形的性質及梯形中常見的輔助線的作法、等腰三角形的性質及判定定理、平行線的性質及角平分線的性質，把梯形的問題轉化為直角三角形的問題．