Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，DE∥AC交BA的延長線于點E，點F在BC上，BF=BO，且AE=6，AD=8．
（1）求BF的長；
（2）求四邊形OFCD的面積．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),勾股定理,三角形中位線定理,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在Rt△EAD中，利用勾股定理求得DE=10；然后利用?ACDE的對邊相等得到：AC=DE=10；最后在Rt△ABC中根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和已知條件來求BF=BO=5；
（2）過點O作OG⊥BC于點G．由圖形得到S四邊形OFCD=S△BCD-S△BOF=

33

2

．利用三角形中位線定理得到OG是△BCD的中位線．利用（1）中平行四邊形ACDE的性質(zhì)求得相關(guān)線段的長度，將其代入進行計算即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAD=180°-∠BAD=90°．
∵在Rt△EAD中，AE=6，AD=8，
∴DE=

AE2+AD2

=10．
∵DE∥AC，AB∥CD，
∴四邊形ACDE是平行四邊形．
∴AC=DE=10．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵OA=OC，
∴BO=

1

2

AC=5．
∵BF=BO，
∴BF=5．

（2）過點O作OG⊥BC于點G．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴CD⊥BC．
∴OG∥CD．
∵OB=OD，∴BG=CG，
∴OG是△BCD的中位線．
由（1）知，四邊形ACDE是平行四邊形，AE=6，
∴CD=AE=6．
∴OG=

1

2

CD=3．
∵AD=8，
∴BC=AD=8．
∴S△BCD=

1

2

•BC•CD=24，S△BOF=

1

2

•BF•OG=

15

2

．
∴S四邊形OFCD=S△BCD-S△BOF=

33

2

．
其他證法相應(yīng)給分．

點評：本題綜合考查了三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．解題時，要注意數(shù)形結(jié)合．