【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點都在坐標(biāo)軸上,A,B兩點關(guān)于y軸對稱,點C是y軸正半軸上一個動點,AD是角平分線.
(1)如圖1,若∠ACB=90°,直接寫出線段AB,CD,AC之間數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,若AB=AC+BD,求∠ACB的度數(shù);
(3)如圖2,若∠ACB=100°,求證:AB=AD+CD.
【答案】(1)AB=AC+CD;(2)108°;(3)證明見解析
【解析】
(1)如圖1,過D作DM⊥AB于M,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到CA=CB,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=MD,∠ABC=45°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=AM,于是得到結(jié)論;
(2)設(shè)∠ACB=α,則∠CAB=∠CBA=90°-α,在AB上截取AK=AC,連結(jié)DK,根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD=∠KAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠AKD=α,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;
(3)如圖2,在AB上截取AH=AD,連接DH,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠CBA=40°,根據(jù)角平分線的定義得到∠HAD=∠CAD=20°,求得∠ADH=∠AHD=80°,在AB上截取AK=AC,連接DK,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠AKD=100°,CD=DK,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH=BH,于是得到結(jié)論.
(1)如圖1,過D作DM⊥AB于M,
∵A,B兩點關(guān)于y軸對稱,
∴CA=CB,
∵∠ACB=90°,AD是角平分線,
∴CD=MD,∠ABC=45°,
∴∠BDM=45°,
∴BM=DM,
∴BM=CD,
在RT△ADC和RT△ADM中,,
∴RT△ADC≌RT△ADM(HL),
∴AC=AM,
∴AB=AM+BM=AC+CD,
即AB=AC+CD;
(2)設(shè)∠ACB=α,則∠CAB=∠CBA=90°﹣α,
在AB上截取AK=AC,連結(jié)DK,
∵AB=AC+BD,
∴BK=BD,
∵AD是角平分線,
∴在△CAD和△KAD中,,
∴△CAD≌△KAD(SAS),
∴∠ACD=∠AKD=α,
∴∠BKD=180°﹣α,
∵BK=BD,
∴∠BDK=180°﹣α,
在△BDK中,
180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α=180°,
∴α=108°,
∴∠ACB=108°;
(3)如圖2,在AB上截取AH=AD,連接DH,
∵∠ACB=100°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=40°,
∵AD是角平分線,
∴∠HAD=∠CAD=20°,
∴∠ADH=∠AHD=80°,
在AB上截取AK=AC,連接DK,
由(1)得,△CAD≌△KAD,
∴∠ACB=∠AKD=100°,CD=DK,
∴∠DKH=80°=∠DHK,
∴DK=DH=CD,
∵∠CBA=40°,
∴∠BDH=40°,
∴DH=BH,
∴BH=CD,
∵AB=AH+BH,
∴AB=AD+CD.
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【題目】有一張邊長為厘米的正方形桌面,因為實際需要,需將正方形邊長增加厘米,木工師傅設(shè)計了如圖所示的三種方案:
小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗證公式:.
對于方案一,小明是這樣驗證的:
大正方形面積可表示為:,也可以表示為:,
.
請你仿照上述方法根據(jù)方案二、方案三,寫出公式的驗證過程.
(1)方案二:
(2)方案三:
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【題目】已知y是x的反比例函數(shù),且x=8時,y=12.
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果自變量x的取值范圍是2≤x≤3,求y的取值范圍.
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【題目】(1)如果兩個三角形兩邊和其中一邊所對的角相等,則兩個三角形全等,這是一個假命題,請畫圖舉例說明;
(2)如圖,在△ABC和△DEF中,AB=ED,BC=DF,∠BAC=∠DEF=120°,求證:△ABC≌△EDF.
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【題目】計算題
(1)先化簡,再求值: ÷(1+ ),其中x=2017.
(2)已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有兩個相等的實數(shù)根,求m的值.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,點、、,…和、、,…分別在直線和軸上.,,,…都是等腰直角三角形,如果,,則點的橫坐標(biāo)是_________
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【題目】已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,其中A點坐標(biāo)為(﹣1,0),點C(0,5),另拋物線經(jīng)過點(1,8),M為它的頂點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△MCB的面積S△MCB .
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