Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，﹣1）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

（1）求此拋物線的解析式

（2）過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；

（3）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間.問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線為y=a（x﹣4）²﹣1，

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），

∴3=a（0﹣4）²﹣1，；··················2分

∴拋物線為；····················3分

（2）相交．·······················4分

證明：連接CE，則CE⊥BD，

當(dāng)時(shí)，x₁=2，x₂=6．

A（0，3），B（2，0），C（6，0），

對(duì)稱(chēng)軸x=4，·························5分

∴OB=2，AB==，BC=4，

∵AB⊥BD，

∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，

∴△AOB∽△BEC，

∴=，即=，解得CE=，················6分

∵＞2，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C相交．·····················7分

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q；

可求出AC的解析式為；···················8分

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）；················9分

∴PQ=m+3﹣（m²﹣2m+3）=﹣m²+m．

∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=（﹣m²+m）×6

=（m﹣3）²+；································11分

∴當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大為；···················12分

此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，）．·····················13分