Question

如圖所示：拋物線y=x²-2x-3交坐標軸于A、B、C三點，D是拋物線的頂點，M在對稱軸上，P在坐標軸上．以下結論：
①存在點M，使△AMC是等腰直角三角形；
②AM+CM的最小值是3；
③AM-CM的最大值是；
④若△APC與△BCD相似，則P的坐標恰有兩個．
其中正確的是________（只填序號）

Answer 1

①②③
分析：先根據(jù)拋物線的解析式確定點A的坐標為（-1，0），點B坐標為（3，0），點C坐標為（0，-3），對稱軸為直線x=1，D點坐標為（1，-4）；由于△AMC為等腰直角三角形，易得△AMF≌△MCE，則FM=CE=1，可得到M點坐標為（1，-1）；由于點A與點B關于直線x=1對稱，根據(jù)兩點之間線段最短得到當M點在M₁的位置時，AM+CM有最小值，最小值為BC的長，運用勾股定理可計算BC=3；由于三角形任意兩邊之差小于第三邊，則當M點在M₂的位置時，AM+CM有最大值，最大值為AC的長，再根據(jù)勾股定理可計算出AC=；根據(jù)勾股定理的逆定理可得到∠BCD=90°，若△APC與△BCD相似，則△APC為直角三角形，當∠AP₁C=90°時，根據(jù)OA：CD=OC：BC=1：，可得到Rt△P₁AC∽Rt△CDB，則P₁（0，0）滿足條件；當∠P₂AC=90°時，由于Rt△CAP₂∽Rt△COA，則Rt△AP₂C∽Rt△CDB，可得到P₂（0，）滿足條件；當∠P₃CA=90°時，由于Rt△CAP₃∽Rt△OAC得到Rt△AP₂C∽Rt△CDB，則有P₃（9，0）滿足條件．
解答：令y=0，則x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3令x=0，y=-3
∴點A的坐標為（-1，0），點B坐標為（3，0），點C坐標為（0，-3），
∵y=（x-1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，D點坐標為（1，-4），
（1）設M點坐標為（1，t），作CE⊥直線x=1，直線x=1與x軸交于F點，如圖，
當△AMC為等腰直角三角形時，則△AMF≌△MCE，
∴FM=CE=1，
∴M點坐標為（1，-1），所以①正確；
（2）點A與點B關于直線x=1對稱，BC與直線x=1的交點為M₁，
當M點在M₁的位置時，AM+CM有最小值，最小值為BC的長，即3，所以②正確；
（3）延長AC交直線x=1于M₂，
當M點在M₂的位置時，AM+CM有最大值，最大值為AC的長，即=，所以③正確；
（4）∵BC=3，BD=2，CD=，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
當P點在原點，即P₁的位置時，OA：CD=OC：BC=1：，
∴Rt△P₁AC∽Rt△CDB，
∴P₁（0，0）滿足條件；
當∠P₂AC=90°時，
∵Rt△CAP₂∽Rt△COA，OP₂=OA=，
∴Rt△AP₂C∽Rt△CDB，
∴P₂（0，）滿足條件；
當∠P₃CA=90°時，
∵Rt△CAP₃∽Rt△OAC，OP₃=3OC=9，
∴Rt△AP₂C∽Rt△CDB，
∴P₃（9，0）滿足條件；所以④錯誤．
故答案為①②③．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：先根據(jù)拋物線的解析式確定拋物線與坐標軸的交點坐標和對稱軸、頂點坐標，再利用勾股定理計算出相關線段的長，然后運用對稱、三角形相似的判定與性質解決問題．