Question

【題目】如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，CE＝DF，AE，BF相交于點(diǎn)O.下列結(jié)論：①AE＝BF；②AE⊥BF；③△ABF與△DAE成中心對(duì)稱．其中，正確的結(jié)論有( )

A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)及已知條件易證△ABF≌△DAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判定①正確；再根據(jù)∠DAE+∠BAO=90°，∠ABF+∠BAO=90°，求得∠AOB=90°，即可判定②正確；利用反證法證明③錯(cuò)誤；利用中心對(duì)稱的性質(zhì)判定④錯(cuò)誤.

在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，

∵CE=DF，

∴AD-DF=CD-CE，

即AF=DE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴AE=BF，∠ABF=∠DAE，

故①正確；

∵∠DAE+∠BAO=90°，

∴∠ABF+∠BAO=90°，

在△ABO中，∠AOB=180°-（∠ABF+∠BAO）=180°-90°=90°，

∴AE⊥BF，故②正確；

假設(shè)AO=OE，

∵AE⊥BF（已證），

∴AB=BE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），

∵在Rt△BCE中，BE＞BC，

∴AB＞BC，這與正方形的邊長(zhǎng)AB=BC相矛盾，

所以，假設(shè)不成立，AO≠OE，故③錯(cuò)誤；

連接AD、BA、FE，三條直線不相交于一點(diǎn)，所以△ABF與△DAE不成中心對(duì)稱.

綜上，正確的結(jié)論為①②.

故選C.