【題目】如圖1所示,在ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB,△ACD沿射線AC的方向勻速平移得到△PNM,速度為1cm/s,同時,點Q從點C出發(fā),沿射線CB方向勻速運動,速度為1cm/s,當△PNM停止平移時,點Q也停止運動,如圖2所示,設(shè)運動時間為t(s)(0<t<4).
(1)當t為何值時,PQ∥MN?
(2)設(shè)△QMC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使得PQ=QM,若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖1,由題意得:CQ=AP=t,
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC= = =4,
∴CP=4﹣t,
由平移的性質(zhì)可得MN∥AB,
∵PQ∥MN,
∴PQ∥AB,
∴ ,即 ,
解得t= ,
則當t為何值時,PQ∥MN
(2)
解:如圖2,過點P作PF⊥BC于點F,過點A作AE⊥BC于點E,
由S△ABC= AB×AC= AE×BC,
×3×4= ×5AE,
可得:AE= ,
則由勾股定理易得:CE= = = .
∵PD⊥BC,AE⊥BC,
∴AE∥PD,
∴△CPD∽△CAE,
∴ ,即
∴PD= ,CD= ,
∵PM∥BC,
∴點M到BC的距離h=PD= ,
∴△QCM的面積y= CQ×h= × =﹣ + (0<t<4)
(3)
解:如圖3,過點Q作QD⊥PM于點D,QD交AC于點H.
∵PQ=MQ,
∴PD=DM= ,且DQ⊥BC.
在Rt△ABC中,AC=4,AP=t,QC=t.
∵∠A=∠HQC,∠ACB=∠QCH,
∴△CQH∽△CAB,
∴ ,即 ,
∴CH= t,
∴PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣t﹣ t=4﹣ t,
易證△PHD∽△CBA,
∴ ,
即 ,
解得t= .
∴當t= 時,PQ=QM.
【解析】(1)如圖1,先根據(jù)題意得:CQ=AP=t,利用勾股定理求AC的長,根據(jù)PQ∥AB,列比例式可求得t的值;(2)如圖2,作輔助線,構(gòu)建相似三角形,利用面積法得:S△ABC= AB×AC= AE×BC,可得:AE= ,由勾股定理易得:CE= .證明△CPD∽△CAE,列比例式 ,求PD和CD的長,根據(jù)面積公式求△QCM的面積y;(3)如圖3,作輔助線,構(gòu)建相似三角形,證明△CQH∽△CAB,列比例式得: ,表示CH= t,則PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣ t,易證△PHD∽△CBA,列式可求得t的值.
【考點精析】利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.
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【題目】有三張正面分別標有數(shù)字﹣3,1,3的不透明卡片,它們除數(shù)字外都相同,現(xiàn)將它們背面朝上,洗勻后從三張卡片中隨機地抽取一張,放回卡片洗勻后,再從三張卡片中隨機地抽取一張.
(1)試用列表或畫樹狀圖的方法,求兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為負數(shù)的概率;
(2)求兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為非負數(shù)的概率.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,∠BAC的平分線AD交⊙O于點D,過點D垂直于AC的直線交AC的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)如果AD=5,AE=4,求AC長.
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【題目】在不透明的布袋中裝有1個白球,2個紅球,它們除顏色外其余完全相同.
(1)從袋中任意摸出兩個球,試用樹狀圖或表格列出所有等可能的結(jié)果,并求摸出的球恰好是兩個紅球的概率;
(2)若在布袋中再添加x個白球,充分攪勻,從中摸出一個球,使摸到白球的概率為 ,求添加的白球個數(shù)x.
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【題目】請從以下兩個小題中任選一個作答,若多選,則按所選的第一小題計分.
①若單項式﹣xmyn+4 與 5x2y 是同類項,則 nm 的值為____.
②實施西部大開發(fā)戰(zhàn)略是黨中央的重大決策,我國國土面積約為960 萬平方千米,而我國西部地區(qū)的面積占我國國土面積的 ,用科學記數(shù)法表示我國西部地區(qū)的面積約為_____平方千米.
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【題目】閱讀理解:課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:
如圖1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長AD到E,使得DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>△ACD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE<8,則1<AD<4.
感悟:解題時,條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣,可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中.
(1)問題解決:受到(1)的啟發(fā),請你證明下面命題:如圖2,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF.
①求證:BE+CF>EF;②若∠A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(2)問題拓展:如圖3,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB,F是AD的中點,作CE⊥AB,垂足E在線段AB上,聯(lián)結(jié)EF、CF,那么下列結(jié)論①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.中一定成立是 (填序號).
圖1 圖2 圖3
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【題目】一個三角形內(nèi)有n個點,在這些點及三角形頂點之間用線段連接起來,使得這些線段互不相交,且又能把原三角形分割為不重疊的小三角形.如圖:若三角形內(nèi)有1個點時此時有3個小三角形;若三角形內(nèi)有2個點時,此時有5個小三角形.則當三角形內(nèi)有3個點時,此時有個小三角形;當三角形內(nèi)有n個點時,此時有個小三角形.
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【題目】如圖,在△ABC中,O是AC上一動點(不與點A、C重合),過O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F.
(1)OE與OF相等嗎?證明你的結(jié)論;
(2)試確定點O的位置,使四邊形AECF是矩形,并加以證明.
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【題目】在一個3×3的方格中填寫了9個數(shù)字,使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等,得到的3×3的方格稱為一個三階幻方.
(1)在圖1中空格處填上合適的數(shù)字,使它構(gòu)成一個三階幻方;
(2)如圖2的方格中填寫了一些數(shù)和字母,當x+y的值為多少時,它能構(gòu)成一個三階幻方.
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