Question

【題目】我們知道：有一內(nèi)角為直角的三角形叫做直角三角形．類似地我們定義：有一內(nèi)角為的三角形叫做半直角三角形．如圖，在平面直角坐標系中，為原點，，，是軸上的一個動點，（、、按順時針方向排列），與經(jīng)過、、三點的交于點，平分，連結(jié)，．顯然、、是半直角三角形．

（1）求證：是半直角三角形；

（2）求證：；

（3）若點的坐標為，求的長；

（4）交軸于點，求△ACF與△BCA的面積之比.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）見解析 （4）見解析

【解析】

（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所對的圓周角可知：∠ABE=∠ADE=45°。根據(jù)定義即可得出答案；

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：AD=BD，由等角對等邊得∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四點共圓，則∠DBA+∠DEA=180°，可得結(jié)論；

（3）設圓的半徑為r，根據(jù)勾股定理可列方程求出r值，由同弧所對的圓心角和圓周角的關系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；

（4）先證明△ADE≌△CDE，則∠EAC=∠ACE，做輔助線可知：△DGA是等腰直角三角形，由△ACF∽△BCA，由面積比等于相似比即可求出答案。

解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=45°，∵

是半直角三角形

（2）∵OM⊥AB，OA=OB，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∵∠DEB=∠DAB，

∴∠DBA=∠DEB，

∵D、B、A、E四點共圓，

∴∠DBA+∠DEA=180°，

∵∠DEB+∠DEC=180°，

∴∠DEA=∠DEC

（3）

如上圖1，連接AM，ME，設的半徑為r

點的坐標為，

，

由得解得，的半徑為

∵，

∴∠EMA=2∠ABE=90°

，

（4）

如圖2，∵∠ADE=∠CDE=45°，∠DEA=∠DEC，

∴∠DCB=∠DAE

∵∠DAE=∠DBC

∴∠DCB=∠DBC

∴BD=DC=AD

∵DE=DE

∴△ADE≌△CDE

∴AE=CE

∴∠EAC=∠ACE

延長DE交AC于點G，過A作AH⊥BC于H

∴DG⊥AC

∴△DGA是等腰直角三角形

∴∠DAG=45°

∵∠FAC=∠ABC=45°，∠ACB=∠ACF

∴△ACF∽△BCA

∵點D坐標（0，4）

∴OD=4

由勾股定理得AD=

∴AG=

∴AC=2AG=

∵∠ABC=45°，AB=4

∴AH=BH=

由勾股定理得：CH=

∴BC=BH+CH=

∴