【題目】請閱讀下列材料:
問題:如圖1,點A,B在直線l的同側(cè),在直線l上找一點P,使得AP+BP的值最小.
小明的思路是:如圖2所示,先作點A關(guān)于直線l的對稱點A′,使點A′,B分別位于直線l的兩側(cè),再連接A′B,根據(jù)“兩點之間線段最短”可知A′B與直線l的交點P即為所求.
請你參考小明同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:
(1)如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上,設(shè)AA'與直線l的交點為C,過點B作BD⊥l,垂足為D.若CP=1,AC=1,PD=2,直接寫出AP+BP的值;
(2)將(1)中的條件“AC=1”去掉,換成“BD=4﹣AC”,其它條件不變,直接寫出此時AP+BP的值;
(3)請結(jié)合圖形,求 的最小值.
【答案】
(1)解:如圖2,∵AA′⊥l,AC=1,PC=1,
∴PA= ,
∴PA′=PA= ,
∵AA′∥BD,
∴∠A′=∠B,
∵∠A′PC=∠BPD,
∴△A′PC∽△BPD,
∴ ,
∴ ,
∴PB=2 ,
∴AP+PB= +2 =3 ;
故答案為3 ;
(2)解:作AE∥l,交BD的延長線于E,如圖3,
則四邊形A′EDC是矩形,
∴AE=DC=PC+PD=3,DE=A′C=AC,
∵BD=4﹣AC,
∴BD+AC=BD+DE=4,
即BE=4,
在RT△A′BE中,A′B= =5,
∴AP+BP=5,
故答案為5;
(3)解:設(shè)AC=1,CP=m﹣3,
∵A A′⊥L于點C,
∴AP= ,
設(shè)BD=2,DP=9﹣m,
∵BD⊥L于點D,
∴BP= ,
∴ 的最小值即為A′B的長.
即:A′B= 的最小值.
如圖,過A′作A′E⊥BD的延長線于點E.
∵A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6,BE=BD+DE=2+1=3,
∴A′B= 的最小值
=
= ,
∴ 的最小值為 .
【解析】 (1)根據(jù)等腰直角三角形知PA= ,根據(jù)軸對稱性知PA′=PA,根據(jù)平行線的性質(zhì)知∠A′=∠B,又∠A′PC=∠BPD,從而判斷出△A′PC∽△BPD,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例就可以求出PB的長,從而算出AP+BP;
(2)作AE∥l,交BD的延長線于E,根據(jù)題意可以判斷出四邊形A′EDC是矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AE=DC=PC+PD=3,DE=A′C=AC,從而得出BD+AC=BD+DE=4,在RT△A′BE中,利用勾股定理算出A′B的長,從而得出AP+BP的值;
(1)設(shè)AC=1,CP=m﹣3,因A A′⊥L于點C,由勾股定理得出AP的值,設(shè)BD=2,DP=9﹣m,因BD⊥L于點D,由勾股定理得出BP的值,根據(jù)A′B=AP+BP的最小值,過A′作A′E⊥BD的延長線于點E.A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6,BE=BD+DE=2+1=3,A′B=,從而得出答案。
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b(k,b都是常數(shù),且k≠0)的圖象經(jīng)過點(1,0)和(0,2).
(1)當(dāng)﹣2<x≤3時,求y的取值范圍;
(2)已知點P(m,n)在該函數(shù)的圖象上,且m﹣n=4,求點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,有兩個全等的直角三角形△ABC和△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°,點D在邊AB上,且AD=BD=CD.△EDF繞著點D旋轉(zhuǎn),邊DE,DF分別交邊AC于點M,K.
(1)如圖2、圖3,當(dāng)∠CDF=0°或60°時,AM+CKMK(填“>”,“<”或“=”),你的依據(jù)是;
(2)如圖4,當(dāng)∠CDF=30°時,AM+CKMK(填“>”或“<”);
(3)猜想:如圖1,當(dāng)0°<∠CDF<60°時,AM+CKMK,試證明你的猜想..
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,真命題的個數(shù)有( )
①帶根號的數(shù)都是無理數(shù); ②立方根等于它本身的數(shù)有兩個,是0和1;
③0.01是0.1的算術(shù)平方根; ④有且只有一條直線與已知直線垂直
A.0個B.1個C.2個D.3個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一張比例尺為1:2000的學(xué)校平面圖上,操場的長度為4cm,則此操場的實際長度為
______________m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠A=60°,∠ABC,∠ACB所對的邊b,c滿足:b +c -4(b+c)+8=0.
(1)證明:△ABC是邊長為2的等邊三角形.
(2)若 b,c兩邊上的中線BD,CE交于點O,求OD:OB的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(﹣1,2),且與X軸交點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列結(jié)論:①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b<0;③a+c<1;④b2+8a>4ac.其中正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列事件為必然事件的是( )
A.小王參加本次數(shù)學(xué)考試,成績是150分
B.某射擊運動員射靶一次,正中靶心
C.打開電視機,CCTV第一套節(jié)目正在播放新聞
D.口袋中裝有2個紅球和1個白球,從中摸出2個球,其中必有紅球
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