Question

已知a、b、c都是整數(shù)，求證：若長度為a、b、c的線段可構(gòu)成一個三角形，則對一切滿足p+q=1的實數(shù)，都有pa²+qb²＞pqc²．

Answer 1

考點：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：當(dāng)p+q=1時，可得q=1-p，代入pa²+qp²-pqc²后轉(zhuǎn)化為c²p²+（a²-b²-c²）p+b²，看作關(guān)于x的二次函數(shù)，求出△的表達式，然后分兩種情況討論：（1）若長度為a、b、c的線段可能構(gòu)成三角形；（2）對一切滿足p+q=1的實數(shù)，都有pa²+qb²＞pqc²．然后進行推理解答．

解答：證明：p+qq=1時p+qq=1時，
pa²+qp²-pqc²=pa²+（1-p）b²-p（1-p）c²=c²p²+（a²-b²-c²）p+b²，
二次函數(shù)f（x）=c²p²+（a²-b²-c²）p+b²
△=（a²-b²-c²）²-4c²b²
=（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²-2bc）
=（a+b-c）（a-b+c）（a+b+c）（a-b-c）
（1）若長度為a、b、c的線段可能構(gòu)成三角形，從而有a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b．
∴△＜0．
又∵c²＞0，拋特線開口向上．
∴f（p）＞0．即p+q=1時，pa²+qp²-pqc²＞0．
∴pa²+qp²＞pqc²
（2）對一切滿足p+q=1的實數(shù)，都有pa²+qp²＞pqc²．即f（p）=c²p²+（a²-b²-c²）p+b²＞0 成立．
所以二次函數(shù)f（x）=c²x²+（a²-b²-c²）p+b²的圖象在x軸上方．
故△=（a+b-c）（a-b+c）（a+b+c）（a-b-c）＜0
由于a＞0，b＞0，c＞0．a(chǎn)+b+c＞0，
所以（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）＞0①
不失一般性，不妨設(shè)a≥b≥c＞0，顯然
a+b-c＞0，c+a-b＞0．
由①知必有  b+c-a＞0
所以長度為a、b、c的線段可以構(gòu)成一個三角形．

點評：本題考查了三角形的邊角關(guān)系，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)再進行討論．本題難度較大，將圖形問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解題的關(guān)鍵．