Question

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，任意延長(zhǎng)CA到P，再延長(zhǎng)AB到Q，使AP=BQ，

求證：△ABC的外心O與點(diǎn)A、P、Q四點(diǎn)共圓．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：先作△ABC的外接圓⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OP、OQ、OB、OA，證出BE=AF，OE=OF，再證Rt△OPF≌Rt△OQE，得到∠P=∠Q即可得到答案．

證明：作△ABC的外接圓⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OP、OQ、OB、OA，

∵O是△ABC的外心，

∴OE=OF，OB=OA，

由勾股定理得：BE2=OB2﹣OE2，AF2=OA2﹣OF2，

∴BE=AF，

∵AP=BQ，

∴PF=QE，

∵OE⊥AB，OF⊥AC

∴∠OFP=∠OEQ=90°，

∴Rt△OPF≌Rt△OQE，

∴∠P=∠Q，

∴O、A、P、Q四點(diǎn)共圓．

即：△ABC的外心O與點(diǎn)A、P、Q四點(diǎn)共圓．