Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）由平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)易證明，BC=CD，因為AB∥CD且AB=BC，即可證明．

（2）直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半，所以OE=OA=OC，菱形角平分線相互垂直平分，用勾股定理即可算出OC的長．

（1）∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD

∴∠CDB＝∠CBD，

∴BC＝CD，且AB＝BC

∴CD＝AB，且AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝BC

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2

∵AO＝ ＝＝4

∵CE⊥AB，AO＝CO

∴EO＝AO＝CO＝4．