Question

已知：如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：

（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關__________；

（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：__________個；

（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．利用（1）的結(jié)論，試求∠P的度數(shù)；

（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關系．（直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

【考點】三角形內(nèi)角和定理．

【專題】探究型．

【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據(jù)對頂角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；

（2）根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點，根據(jù)交點寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；

（3）根據(jù)（1）的關系式求出∠OCB﹣∠OAD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠DAM﹣∠PCM，然后利用“8字形”的關系式列式整理即可得解；

（4）根據(jù)“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB﹣∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM﹣∠PCM，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠DAM﹣∠PCM=（∠OCB﹣∠OAD），然后整理即可得證．

【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D，

在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C，

∵∠AOD=∠BOC（對頂角相等），

∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C，

∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）交點有點M、O、N，

以M為交點有1個，為△AMD與△CMP，

以O為交點有4個，為△AOD與△COB，△AOM與△CON，△AOM與△COB，△CON與△AOD，

以N為交點有1個，為△ANP與△CNB，

所以，“8字形”圖形共有6個；

（3）∵∠D=40°，∠B=36°，

∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，

∴∠OCB﹣∠OAD=4°，

∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，

∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，

又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，

∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=（∠OAD﹣∠OCB）+∠D=×（﹣4°）+40°=38°；

（4）根據(jù)“8字形”數(shù)量關系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，

所以，∠OCB﹣∠OAD=∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM=∠D﹣∠P，

∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，

∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，

∴（∠D﹣∠B）=∠D﹣∠P，

整理得，2∠P=∠B+∠D．

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形的內(nèi)角和定理，對頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關鍵．