Question

如圖，半徑為2的半圓O中有兩條相等的弦AC與BD相交于點P．
（1）求證：PO⊥AB；
（2）若BC=1，求PO的長．

Answer 1

（1）證明：連接AD．
∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°．
∵AC=BD，AB=BA，
∴△ABC≌△ABD．
∴∠BAC=∠ABD，從而PA=PB．
∵O是AB中點，
∴PO⊥AB；

（2）解：∵∠AOP=∠ACB=90°，∠OAP=∠CAB，
∴△AOP∽△ACB．
∴．
∵AB=4，BC=1，∴AC==．
∴OP==．
分析：（1）連接AD．因為AB是直徑，所以△ABC、△ABD為直角三角形．根據(jù)“HL”判斷它們?nèi)�等，得∠BAC=∠ABD，從而PA=PB．根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得證；
（2）易證△AOP∽△ACB，運用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解．
點評：此題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性較強，難度偏上．