Question

假設(shè)三邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積都為整數(shù)的三角形叫做“整數(shù)三角形”，請(qǐng)寫(xiě)出所有周長(zhǎng)為32的“鈍角整數(shù)三角形”，分別列出它的三邊長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：探究型

分析：設(shè)周長(zhǎng)為32的“鈍角整數(shù)三角形”的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，不妨設(shè)a＞b≥c，則有a、b、c為正整數(shù)，a＜b+c，a+b+c=32，a²＞b²+c²，S=

16(16-a)(16-b)(16-c)

是整數(shù)．根據(jù)三角形的構(gòu)成條件可以確定a的范圍，然后分類討論就可解決問(wèn)題．

解答：解：設(shè)周長(zhǎng)為32的“鈍角整數(shù)三角形”的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，
不妨設(shè)a＞b≥c，則有a、b、c為正整數(shù)，a＜b+c，a+b+c=32，
a²＞b²+c²，S=

16(16-a)(16-b)(16-c)

是整數(shù)．
∵a＜b+c，a+b+c=32，
∴2a＜a+b+c=32，
∴a＜16．
∵a＞b≥c，a、b、c為正整數(shù)，
∴a≥b+1，a≥c+1，
∴3a≥a+b+1+c+1=34，
∴a≥

34

3

，
∴

34

3

≤a＜16，
∴整數(shù)a可取15、14、13、12．
①當(dāng)a=15時(shí)，可得：

由上表可知：三邊長(zhǎng)為15，13，4時(shí)符合要求．
②當(dāng)a=14時(shí)，可得：

由上表可知：三角形面積都不是整數(shù)，因而都不符合要求．
③當(dāng)a=13時(shí)，可得：

由上表可知：三角形都是銳角三角形，都不符合要求．
④當(dāng)a=12時(shí)，可得：

由上表可知：三角形都是銳角三角形，都不符合要求．
綜上所述：周長(zhǎng)為32的“鈍角整數(shù)三角形”只有一個(gè)，它的三邊長(zhǎng)分別為15、13、4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系（兩邊之和大于第三邊）、鈍角三角形的判定方法（最長(zhǎng)邊的平方大于其它兩邊的平方和）、海倫公式（S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，其中p=

a+b+c

2

），有一定的難度，而運(yùn)用分類討論及枚舉法則是解決本題的關(guān)鍵．