Question

如圖已知，在△ABC中，∠A=60°，BD是∠ABC的平分線．
（1）求∠ABD+

1

2

∠ACB的度數(shù)；
（2）P為射線BD上一動點，當(dāng)點P在線段BD上時，連接PC，請猜想PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）當(dāng)點P在射線BD上運動時，是否存在一點P，使∠BPC=30°？若存在，請比較∠ACP和∠ABD的度數(shù)的大小關(guān)系，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）由角平分線的定義可得∠ABD+

1

2

∠ACB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB即可；
（2）連接PC，在△ABD和△PDC中分別利用三角形三邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）在△ABD和△CPD中分別利用內(nèi)角和定理，可得出∠ABD+∠A=∠ACP+∠BPC，再把角的度數(shù)代入可求得結(jié)論．

解答：解：
（1）∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=

1

2

∠ABC，
∴∠ABD+

1

2

∠ACB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

×120°=60°；
（2）AB+AC＞PB+PC，證明如下：
如圖，連接PC，

在△ABD中，有AB+AD＞BD，即AB+AD＞PB+PD，
在△PDC中，有PD+DC＞PC，
∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，
∴AB+AD+DC＞PB+PC，
即AB+AC＞PB+PC；
（3）存在，∠ABD＜∠ACP，理由如下：
∠BPC=30°，則點P的BD的延長線上，
則∠ABD+∠A+∠ADB=∠ACP+∠BPC+∠CDP=180°，
∵∠ADB=∠CDP，
∴∠ABD+∠A=∠ACP+∠BPC，
即∠ABD+60°=∠ACP+30°，
∴∠ABD+30°=∠ACP，
∴∠ABD＜∠ACP．

點評：本題主要考查三角形內(nèi)角和定理及角平分線、三角形的三邊關(guān)系，在復(fù)雜圖形中能找到所需要的三角形中找到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．