Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周．在旋轉(zhuǎn)的過程中，假如第t秒時，OA、OC、ON三條射線構(gòu)成相等的角，求此時t的值為多少？
（2）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)圖2，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄浚骸螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

考點：角的計算

專題：

分析：（1）根據(jù)已知條件可知，在第t秒時，三角板轉(zhuǎn)過的角度為10°t，然后按照OA、OC、ON三條射線構(gòu)成相等的角分四種情況討論，即可求出t的值；
（2）根據(jù)三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的關系，然后兩角相加即可求出二者之間的數(shù)量關系．

解答：解：（1）∵三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，
∴第t秒時，三角板轉(zhuǎn)過的角度為10°t，

當三角板轉(zhuǎn)到如圖①所示時，∠AON=∠CON
∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°-10°t=210°-10°t
∴90°+10°t=210°-10°t
即t=6；
當三角板轉(zhuǎn)到如圖②所示時，∠AOC=∠CON=180°-120°=60°
∵∠CON=∠BOC-∠BON=120°-（10°t-90°）=210°-10°t
∴210°-10°t=60°
即t=15；
當三角板轉(zhuǎn)到如圖③所示時，∠AON=∠CON=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°，
∵∠CON=∠BON-∠BOC=（10°t-90°）-120°=10°t-210°
∴10°t-210°=30°
即t=24；
當三角板轉(zhuǎn)到如圖④所示時，∠AON=∠AOC=60°
∵∠AON=10°t-180°-90°=10°t-270°
∴10°t-270°=60°
即t=33．
故t的值為6、15、24、33．

（2）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°

點評：本題主要考查角的和、差關系，此題很復雜，難點是找出變化過程中的不變量，需要結(jié)合圖形來計算，在計算分析的過程中注意動手操作，在旋轉(zhuǎn)的過程中得到不變的量．