Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AD和BC是它的兩條切線，OD平分∠ADC．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）若AB=10cm，AD=xcm，BC=ycm（x、y＞0）．
①求y關于x的函數(shù)關系式；
②試用x表出兩個陰影部分的面積之和S_陰影，并探索S_陰影是否存在最小值，寫出探索過程．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）利用角平分線的性質結合切線的判定方法得出即可；
（2）①利用切線長定理以及勾股定理得出y與x的函數(shù)關系式即可；
②利用2S_陰影=S_{四邊形ABCD}-S_半圓面積，進而得出S與x的函數(shù)關系，再利用配方法求出最值即可．

解答：（1）證明：過點O作OE⊥DC于點E，
∵AB是半圓O的直徑，AD和BC是它的兩條切線，
∴∠BAD=90°，
∵OD平分∠ADC，
∴AO=OE，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：①過點D作DF⊥BC于點F，
∵AD，CD是⊙O的切線，E為切點，
∴BC=EC，AD=DE，
∵AB=10cm，AD=xcm，BC=ycm（x、y＞0），
∴DF=10，DC=x+y，F(xiàn)C=y-x，
則DF²+FC²=DC²，
即10²+（y-x）²=（x+y）²，
整理得：100=4xy，
則y=

25

x

；
②由題意可得：2S_陰影=S_{四邊形ABCD}-S_半圓面積=

1

2

（x+y）×10-

1

2

π×25=5（x+

25

x

）-

25π

2

，
故S_陰影=

5

2

（x+

25

x

）-

25

4

π=

5

2

[（

x

-

5

x

）²+10]-

25π

4

=

5

2

（

x

-

5

x

）²+25-

25π

4

，
故當

x

-

5

x

=0時，S_陰影最小為25-

25π

4

．

點評：此題主要考查了切線的判定以及切線長定理以及配方法求最值，得出S與x的函數(shù)關系是解題關鍵．