Question

如圖①．點(diǎn)C、B、E、F在直線(xiàn)l上，線(xiàn)段AB與DE重合．將等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直線(xiàn)l向正方形DEFG平移，當(dāng)C、F重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積y（cm²）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（s）的函數(shù)圖象如圖②所示．請(qǐng)根據(jù)圖中信息解決下列問(wèn)題：
（1）填空：m=

 

s；n=

 

cm²；
（2）分別寫(xiě)出0≤x≤4和4＜x≤m時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）x為何值時(shí)，重疊部分的面積為3.5cm²？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)題意可知，等腰直角三角形ABC沿直線(xiàn)l向正方形DEFG平移時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積y的值先由小變大；到C與E重合時(shí)，y達(dá)到最大值，由圖2知此時(shí)x=4s，則CB=AB=4，根據(jù)三角形的面積公式求出n的值；然后y由大變小，到C與F重合時(shí)，面積達(dá)到最小值0，由EF=CB=4可知此時(shí)t=8s，即m=8s；
（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，設(shè)DE與AC交于點(diǎn)H，△ABC與正方形DEFG重疊部分為直角梯形ABEH，用含x的代數(shù)式分別表示BH、BE，根據(jù)梯形的面積公式即可求解；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，設(shè)GF與AC交于點(diǎn)I，△ABC與正方形DEFG重疊部分為△CFI，用含x的代數(shù)式分別表示FI、CF，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（3）根據(jù)（2）中所求的函數(shù)解析式，當(dāng)0≤x≤4和4＜x≤8時(shí)，分別令y=3.5，得到關(guān)于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）由題意可知，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，y有最大值，由圖2知此時(shí)x=4s，
∵等腰直角三角形ABC運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，
∴CB=AB=1×4=4，
∴S_△ABC=

1

2

×4×4=8，即n=8cm²；
∵點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，面積達(dá)到最小值0，
又EF=CB=4，
∴t=8s，即m=8s．
故答案為8，8；

（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，如圖，設(shè)DE與AC交于點(diǎn)H．
∵BE=x，
∴EH=CE=BC-BE=4-x，
∴y=S_梯形ABEH=

1

2

（EH+AB）•BE=

1

2

（4-x+4）x=-

1

2

x²+4x，
即y=-

1

2

x²+4x；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，如圖，設(shè)GF與AC交于點(diǎn)I．
∵BE=x，BC=4，
∴CE=BE-BC=x-4，
∴FI=CF=EF-EC=4-（x-4）=8-x，
∴y=S_△CFI=

1

2

CF²=

1

2

（8-x）²=

1

2

x²-8x+32，
即y=

1

2

x²-8x+32；
綜上所述，y=

- 1 2 x2+4x (0≤x≤4) 1 2 x2-8x+32 (4＜x≤8)

；

（3）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，令-

1

2

x²+4x=3.5，
整理，得x²-8x+7=0，
解得x₁=1，x₂=7（不合題意，舍去）；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，令

1

2

x²-8x+32=3.5，
整理，得x²-16x+57=0，
解得x₁=8-

7

，x₂=8+

7

（不合題意，舍去）．
綜上所述，當(dāng)x為1s或（8-

7

）s時(shí)，重疊部分面積為3.5cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中如何求圖形的面積，等腰直角三角形與正方形的性質(zhì)，難度適中．解題的關(guān)鍵是正確理解題意，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，利用數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．