Question

將矩形ABCD折疊使點D與點B重合，折痕EF，若S_△ABE：S_△BFE=4：5，則tan∠BFE=

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：如圖，首先通過作輔助線證明CF=AE；根據(jù)S_△ABE：S_△BFE=4：5，求出線段BF、AE之間的數(shù)量關系；根據(jù)勾股定理求出DC的長度；利用直角三角形的邊角關系求出tan∠BFE的值即可解決問題．

解答：解：如圖，連接BD交EF于點O；
由題意得點O為BD的中點；
連接AC；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴對角線AC、BD互相平分，
故AC必過點O，OA=OC；
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE與△COF中，

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
∵S_△ABE：S_△BFE=4：5，且S△ABE=

1

2

AE•AB，S△BEF=

1

2

BF•AB，
∴

AE

BF

=

4

5

，；
設AE=4k，BF=5k，
則FC=AE=4k；
由題意得：DF=BF=5k；
由勾股定理得：
DC²=DF²-FC²=25k²-16k²=9k²，
∴DC=3k；過點E作EG⊥BF，
則四邊形ABGE為矩形，
∴GE=AB=DC=3k，BG=AE=4k，
∴GF=4k-3k=k，
∴tan∠BFE=

EG

FG

=

3k

k

=3，
故答案為：3．

點評：該命題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，根據(jù)矩形的性質(zhì)及翻折變換的特點找出圖中線段之間的數(shù)量關系，借助直角三角形的邊角關系即可解決問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．