【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=-x+2分別交x軸、y軸于點A、B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B.點P是x軸上一個動點,過點P作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點E和點F.設(shè)點P的橫坐標為m.
(1)點A的坐標為 .
(2)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式.
(3)點P在線段OA上時,若以B、E、F為頂點的三角形與△FPA相似,求m的值.
(4)若E、F、P三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點(三點重合除外),稱E、F、P三點為“共諧點”.直接寫出E、F、P三點成為“共諧點”時m的值.
【答案】(1)(4,0)(2)y=﹣x2+x+2(3),(4)﹣1或﹣或
【解析】
(1)令y=0,即可求出交點坐標,
(2)將A(4,0),B(0,2)代入y=﹣x2+bx+c中,即可求出函數(shù)解析式,(3)根據(jù)分類討論,得得,即可求解,(4)根據(jù)當F為線段PE的中點時,當P為線段FE的中點時,當E為線段FP的中點時分類討論解題即可.
(1)在y=-x+2中,令y=0,則x=4,
∴A(4,0);
故答案為:(4,0);
(2)∵在y=-x+2中,令x=0,則y=2,
∴B(0,2),
把A(4,0),B(0,2)代入y=﹣x2+bx+c,得b=,
∴這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=﹣x2+x+2;
(3)∵P(m,0),E(m,﹣m2+m+2),F(xiàn)(m,﹣m+2),
∵且∠BFE=∠AEP,
∴∠BEP=∠APF=90°或∠EBF=∠APF=90°,
則有BE⊥PE,
∴E點的縱坐標為2,
∴解得m=0(舍去)或m=,
如圖1,過點E作EC⊥y軸于點C,
則∠EBC+∠BEC=90°,EC=m,BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m,
∵∠EBF=90°,
∴∠EBC+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠BEC,
∴Rt△ECB∽Rt△BOA,
∴,
∴,解得m=0(舍去)或m=,
解得,m=,
綜上所述,以B、E、F為頂點的三角形與△FPA相似,m的值=,
(4)由(1)知,P(m,0),E(m,﹣m2+m+2),F(xiàn)(m,﹣m+2),
∵E、F、P三點為“共諧點”,
∴有F為線段PE的中點、P為線段FE的中點或E為線段PF的中點,
當F為線段PE的中點時,則有2(﹣m+2)=﹣m2+m+2,解得m=4(三點重合,舍去)或m=;
當P為線段FE的中點時,則有﹣m+2+(﹣m2+m+2)=0,解得m=4(舍去)或m=﹣1;
當E為線段FP的中點時,則有﹣m+2=2(﹣m2+m+2),解得m=4(舍去)或m=﹣;
綜上可知當E、F、P三點成為“共諧點”時m的值為﹣1或﹣或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AT是⊙O的切線,OD⊥BC于點D,并且AT=10cm,AC=20cm,OD=4cm,則半徑OC=( )
A. 8.5cm B. 8cm C. 9.5cm D. 9cm
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【題目】(定義)如圖1,A,B為直線l同側(cè)的兩點,過點A作直線l的對稱點,連接B交直線l于點P,連接AP,則稱點P為點A,B關(guān)于直線的“等角點”.
(運用)如圖2,在平面直坐標系xOy中,已知A(2,),B(-2,-)兩點.
(1)C(4,),D(4,),E(4,)三點中,點 是點A,B關(guān)于直線x=4的等角點;
(2)若直線l垂直于x軸,點P(m,n)是點A,B關(guān)于直線l的等角點,其中m>2,∠APB=α,求證:;
(3)若點P是點A,B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點,且點P位于直線AB的右下方,當∠APB=60°時,求b的取值范圍(直接寫出結(jié)果).
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【題目】如圖,已知△ABC.
(1)求AC的長;
(2)先將△ABC向右平移2個單位得到△A′B′C′,寫出A點的對應(yīng)點A′的坐標;
(3)再將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1,寫出A點對應(yīng)點A1的坐標.
(4)求點A到A′所畫過痕跡的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A1,A2,A3,…都在y軸上,對應(yīng)的縱坐標分別為1,2,3,….直線l1,l2,l3,…分別經(jīng)過點A1,A2,A3,…,且都平行于x軸.以點O為圓心,半徑為2的圓與直線l1在第一象限交于點B1,以點O為圓心,半徑為3的圓與直線l2在第一象限交于點B2,…,依此規(guī)律得到一系列點Bn(n為正整數(shù)),則點B1的坐標為_____,點Bn的坐標為_____.
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【題目】如圖,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3.點E為射線 BC上一個動點,連接AE,將△ABE沿AE折疊,點B落在點B′處,過點B′作AD的垂線,分別交AD,BC于點M,N.當點B′為線段MN的三等分點時,BE的長為__________ .
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,以點B為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交AB、BC于點M、N分別以點M、N為圓心,以大于MN的長度為半徑畫弧兩弧相交于點P過點P作線段BD,交AC于點D,過點D作DE⊥AB于點E,則下列結(jié)論①CD=ED;②∠ABD=∠ABC;③BC=BE;④AE=BE中,一定正確的是( )
A. ①②③B. ① ② ④C. ①③④D. ②③④
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【題目】如圖,已知鈍角三角形ABC,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)110°得到△AB′C′,連接BB′,若AC′∥BB′,則∠CAB′的度數(shù)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司開發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本價為6元/件,該產(chǎn)品在正式投放市場前通過代銷點進行了為期一個月(30天)的試銷售,售價為8元/件,工作人員對銷售情況進行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成圖象,圖中的折線ODE表示日銷售量y(件)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系,已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中時間每增加1天,日銷售量減少5件.
(1)第17天的日銷售量是 件,日銷售利潤是 元.
(2)求試銷售期間日銷售利潤的最大值.
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