【題目】(定義)如圖1,A,B為直線l同側(cè)的兩點,過點A作直線l的對稱點,連接B交直線l于點P,連接AP,則稱點P為點A,B關(guān)于直線等角點”.

(運(yùn)用)如圖2,在平面直坐標(biāo)系xOy中,已知A(2,),B(-2,-)兩點.

(1)C(4,),D(4,),E(4,)三點中,點  是點A,B關(guān)于直線x=4的等角點;

(2)若直線l垂直于x軸,點P(m,n)是點A,B關(guān)于直線l的等角點,其中m>2,APB=α,求證:;

(3)若點P是點A,B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點,且點P位于直線AB的右下方,當(dāng)∠APB=60°時,求b的取值范圍(直接寫出結(jié)果).

【答案】(1)C;(2)證明見解析;(3)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)“等角點”的定義找到A關(guān)于x=4的對稱點A',連接A'B,求得與x=4的交點即可;

(2)根據(jù)“等角點”的定義和三角函數(shù)的知識,再利用APG∽△BPH,即可得到;

(3)構(gòu)造輔助圓O解題,當(dāng)直線y=ax+b與O相交的另一個交點為Q時,利用圓周角定理以及對稱性可證明ABQ為等邊三角形,從而確定Q為定點.再過A,Q分別作y軸的垂線,構(gòu)造相似三角形(RtAMORtONQ),利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出Q的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出BQ和AQ的解析式,由此即可確定b的取值范圍.

解:(1)點關(guān)于直線的對稱點為

直線解析式為:

當(dāng)時,

故答案為:

(2)如圖,過點作直線的對稱點,連,交直線于點

于點

關(guān)于直線對稱

,即

,即

中,

(3)如圖,當(dāng)點位于直線的右下方,時,

在以為弦,所對圓周為,且圓心在下方

若直線與圓相交,設(shè)圓與直線的另一個交點為

由對稱性可知:,

,

是等邊三角形

線段為定線段

為定點

若直線與圓相切,易得、重合

直線過定點

,過點分別作軸,軸,垂足分別為

,

是等邊三角形

,

,

,,點坐標(biāo)為

設(shè)直線解析式為

、坐標(biāo)代入得

解得

直線的解析式為:.

設(shè)直線的解析式為:,

兩點代入,

解得.

直線的解析式為:.

若點點重合,則直線與直線重合,此時,.

若點與點重合,則直線與直線重合,此時,.

,且點位于右下方,

.

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(1)線段 AA'的長為_____

2)當(dāng)竹竿 AB 滑到 A'B'位置時,AB 的中點 P 滑到了 P',位置,則點 P 所經(jīng)過的路線長為___________(兩小題均用含 a,α,β的代數(shù)式表示)

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(2)如圖所示,在11×8的網(wǎng)格圖內(nèi),以坐標(biāo)原點O點為位似中心,將ABC按相似比2:1放大,A、B、C的對應(yīng)點分別為A'、B'、C'.

畫出A'B'C';

A'B'C'沿x軸方向平移,需平移 個單位長度,能使得B'C'所在的直線與P相切.

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1)求證:CD=CE

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1)點A的坐標(biāo)為   

2)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

3)點P在線段OA上時,若以B、EF為頂點的三角形與△FPA相似,求m的值.

4)若E、FP三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點(三點重合除外),稱E、F、P三點為“共諧點”.直接寫出E、F、P三點成為“共諧點”時m的值.

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