Question

9．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，P為AD上一點(diǎn)，且AP=5，BP的垂直平分線分別交AB、DC于E、F，點(diǎn)Q為垂足，則線段EQ：QF的值是$\frac{5}{11}$．

Answer 1

分析 過F作FG⊥AB于G，由四邊形ABCD是正方形，得到∠C=∠ABC=90°，推出四邊形FGBC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FG=BC，證得△ABP≌△EFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=BP，根據(jù)勾股定理得到BP=$\sqrt{{8}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{89}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EQ=$\frac{5\sqrt{89}}{16}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：過F作FG⊥AB于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
∴四邊形FGBC是矩形，
∴FG=BC，
∴FG=AB，
∵EF是BP的垂直平分線，
∴∠BQE=∠FGB，
∴∠EFG=∠ABP，
在△ABP與△EFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGF=∠A=90°}\\{AB=FG}\\{∠ABP=∠EFG}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△EFG，
∴EF=BP，
∵AB=8，AP=5，
∴BP=$\sqrt{{8}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{89}$，
∴EF=$\sqrt{89}$，
∴BQ=PQ=$\frac{\sqrt{89}}{2}$，
∵∠BQE=∠A=90°，∠ABP=∠QBE，
∴△ABP∽△QBE，
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{EQ}{AP}$，即$\frac{\frac{\sqrt{89}}{2}}{8}=\frac{EQ}{5}$，
∴EQ=$\frac{5\sqrt{89}}{16}$，
∴QF=EF-QE=$\frac{11\sqrt{89}}{16}$，
∴EQ：QF=$\frac{5}{11}$．
故答案為：$\frac{5}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得△ABP∽△QBE是解題的關(guān)鍵．