Question

已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0
（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．
（2）是否存在k值，使方程的兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)？若存在求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k ²+1=0的根的判別式△≥0，據(jù)此可以求得k的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系知

1

x1

•

1

x2

=

a

c

=1，據(jù)此列出關(guān)于k的方程，通過(guò)解方程來(lái)求k的值．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+

1

4

k ²+1=0的一次項(xiàng)系數(shù)a=1，二次項(xiàng)系數(shù)b=-（k+1），常數(shù)項(xiàng)c=

1

4

k ²+1，
∴△=b²-4ac=[-（k+1）²-4×1×（

1

4

k ²+1）≥0，即2k-3≥0，
解得，k≥

3

2

；

（2）不存在．理由如下：
設(shè)關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+

1

4

k ²+1=0的兩根為x₁，x₂，則x₁•x₂=

1

4

k ²+1=1，
解得，k=0．
∵k≥

3

2

，
∴k=0不符合題意，
∴這樣的k的值不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式．注意，在利用根的判別式△=b²-4ac時(shí)，一定要弄清楚該公式中的字母a、b、c分別表示的含義．