Question

如圖，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D（3，0）和點(diǎn)E（0，4）．動點(diǎn)C從點(diǎn)M（5，0）出發(fā)，以1個(gè)單位長度/秒的速度沿x軸向左作勻速運(yùn)動，與此同時(shí)，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，也以1個(gè)單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，
（1）請用含t的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）以點(diǎn)C為中心，t個(gè)單位長度為邊長的正方形（兩邊與y軸平行）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），連接PA、PB．
①當(dāng)正方形與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍；
②當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得t秒時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5-t，縱坐標(biāo)為0；由于動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，也以1個(gè)單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運(yùn)動．
（2）①當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，所用的時(shí)間是t的最小值，此時(shí)DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，得到t≥

4

3

；當(dāng)正方形在點(diǎn)D左側(cè)且右上邊頂點(diǎn)交于DE時(shí)，為t的最大值，如圖，易得Rt△CDF∽Rt△EDO，有

CF

4

=

3-(5-t)

5

，求解得到t的最大值．
②當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)，有三種情況：PA=AB，PA=PB，PB=AB．根據(jù)勾股定理，求得每種情況的t的值．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
當(dāng)t秒時(shí)，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
則PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=

4

5

t，DQ=

3

5

t．
∴C（5-t，0），P（3-

3

5

t，

4

5

t）．

（2）
①當(dāng)正方形中心C由點(diǎn)M（5，0）向左運(yùn)動，使點(diǎn)A到點(diǎn)D并隨正方形繼續(xù)向左運(yùn)動時(shí)，
有DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，
即5-

3

2

t≤3，
解得：t≥

4

3

．
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥射線DE，垂足為F，
則由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
則

CF

4

=

3-(5-t)

5

，
解得CF=

4t-8

5

．

由圖3可得出：CF＜OQ=

2

2

t，
即

4t-8

5

＜

2

2

t，
解得t＜

64+40 2

7

．
∴當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時(shí)，
t的取值范圍為

4

3

≤t＜

64+40 2

7

．

②如圖4，當(dāng)PA=AB時(shí)，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q．
有PA²=PQ²+AQ²=

16

25

t ²+（5-

3

2

t-3+

3

5

t）²．
則

29

20

t²-

18

5

t+4=t²，
即9t²-72t+80=0，
解得t₁=

4

3

，t₂=

20

3

．

如圖5，當(dāng)PA=PB時(shí)有PC⊥AB，
則5-t=3-

3

5

t，
解得t₃=5；

如圖6，當(dāng)PB=AB時(shí)，有
PB ²=PQ ²+BQ ²=

16

25

t²+（5-

1

2

t-3+

3

5

t）²，
則

13

20

t²+

2

5

t+4=t²，
即7t²-8t-80=0，
解得t₄=4，t₅=-

20

7

（不合題意，舍去），
故當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，t=

4

3

，或t=4，或t=5，或t=

20

3

，
又因?yàn)镃是從M點(diǎn)向左運(yùn)動的，
故t=

4

3

或t=4或t=5或t=

20

3

，

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形和方程不等式、正方形等方面的知識．重點(diǎn)考查學(xué)生是否認(rèn)真審題，挖掘出題中的隱含條件，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，以及運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解決實(shí)際問題的能力．