Question

【題目】如圖1，△ABC和△DEC均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，連接BE，AD，兩條線段所在的直線交于點P.

（1）線段BE與AD有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由．

（2）若已知BC=12，DC=5，△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，

①如圖2，當點D恰好落在BC的延長線上時，求AP的長；

②在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，設△PAB的面積為S，求S的最值．

Answer 1

【答案】（1）BE=AD，BE與AD互相垂直，證明詳見解析；（2）①AP=；②最小47，最大72

【解析】

（1）由題意根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，進行分析與等量代換即可；

（2）①由題意根據(jù)解直角三角形的勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)進行分析即可；

②由∠APB=90°可知點P在以AB為直徑的圓的一段弧上，且當BP與以CE為半徑⊙C相切時，點P在其運動路徑所在弧的兩個端點處，P到AB的距離最小，此時△PAB的面積S最小；當點P與點C重合時，P到AB的距離最大，此時△PAB的面積S最大.

解：（1）BE=AD，BE與AD互相垂直；

證明：∵等腰△ABC，等腰Rt△DEC，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE，

∴BE=AD，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAD+∠APB=∠CBE+∠ACB=∠AOB，

∴∠APB=∠ACB=90°，即BE與AD互相垂直.

（2）①∵AB=BC=12，DC=EC=5，

∴AE=AC-EC=12-5=7，

Rt△BCE中，BE=，

由（1）同理可知∠APB=∠ACB=90°，∠CAD=∠CBE，

∴△APE∽△BCE，

∴，即，解得AP=.

②由∠APB=90°可知點P在以AB為直徑的圓的一段弧上，且當BP與以CE為半徑⊙C相切時，點P在其運動路徑所在弧的兩個端點處，P到AB的距離最小，此時△PAB的面積S最小。如圖1、2，易知四邊形PDCE是邊長為5的正方形.

∴ BE=AD=，BP=BE+PE=，AP=AD-PD=，

∴S（最小值）=×AP×BP=，

當點P與點C重合時，P到AB的距離最大，此時△PAB的面積S最大，如圖3

S（最大值）=×AC×BC=×12×12=72.