開(kāi)口向下的拋物線y=a(x+1)(x-4)與x軸的交點(diǎn)為A、B(A在B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.連接AC、BC.
(1)若△ABC是直角三角形(圖1),求二次函數(shù)的解析式;
(2)在(1)的條件下,將拋物線沿y軸的負(fù)半軸向下平移k(k>0)個(gè)單位,使平移后的拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),求k的值;
(3)當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4)時(shí)(圖2),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)P沿折線C?O?B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,點(diǎn)Q沿拋物線(在第一象限的部分)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,若P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同,請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)B?請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):
13
=3.6
,
29
=5.4

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分析:(1)根據(jù)已知的拋物線解析式,可求得A、B的坐標(biāo),在Rt△ABC中,OC⊥AB,利用射影定理的得到OC2=OA•OB(或由相似三角形證得),即可得到OC的長(zhǎng),從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo),將其代入拋物線的解析式中,即可確定a的值,從而求出該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)(1)所得拋物線的解析式,可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo),由于函數(shù)圖象的平移方法已經(jīng)確定,即沿y軸負(fù)半軸向下平移,若拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),則有兩種情況:
①C、O重合,此時(shí)拋物線向下平移了OC長(zhǎng)個(gè)單位,
②拋物線的頂點(diǎn)落在x軸上,此時(shí)拋物線向下平移的單位長(zhǎng)度與(1)的拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,
綜合上述兩種情況,即可求得k的值;
(3)當(dāng)C(0,4)時(shí),可根據(jù)其坐標(biāo)確定此時(shí)拋物線的解析式,進(jìn)而求得其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);P點(diǎn)的移動(dòng)距離易求得(即OC+OB),而Q點(diǎn)的軌跡是一條曲線,無(wú)法直接求得,因此需要化曲為直,間接的和P點(diǎn)的移動(dòng)距離進(jìn)行比較;連接CD、BD,根據(jù)B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo),即可求得CD、BD的長(zhǎng),從而確定BD+CD同OC+OB的大小關(guān)系,顯然Q點(diǎn)移動(dòng)距離要大于CD+BD,這樣就判斷出P、Q兩點(diǎn)的路程誰(shuí)大誰(shuí)小,由于兩點(diǎn)的速度相同,那么路程短的就先到達(dá)B點(diǎn).
解答:解:拋物線y=a(x+1)(x-4)與x軸的交點(diǎn)為A(-1,0)、B(4,0).
(1)若△ABC是直角三角形,只有∠ACB=90°.
由題易得△ACO∽△COB,
AO
CO
=
CO
BO
,
1
CO
=
CO
4

∴CO=2
∵拋物線開(kāi)口向下,
∴C(0,2)
把C(0,2)代入得:
(0+1)(0-4)a=2,a=-
1
2

y=-
1
2
(x+1)(x-4)
;

(2)由y=-
1
2
(x+1)(x-4)
可得:
拋物線的頂點(diǎn)為(
3
2
,
25
8
),點(diǎn)C(0,2),
當(dāng)點(diǎn)C向下平移到原點(diǎn)時(shí),
平移后的拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),
∴k=2
當(dāng)頂點(diǎn)向下平移到x軸時(shí),
平移后的拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn),
k=
25
8
;
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(3)當(dāng)點(diǎn)C為(0,4)時(shí),拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-4),
拋物線的頂點(diǎn)為D(
3
2
,
25
4

連接DC、DB
∵D(
3
2
,
25
4
),B(4,0),C(0,4),
∴CD=
(
3
2
)
2
+(
25
4
-4)
2
=
3
4
13
=2.7
,
DB=
(4-
3
2
)
2
+(
25
4
)
2
=
5
4
29
=6.75

∴CD+DB=2.7+6.75=9.45
∵CO+OB=4+4=8,
∴DB+DC>CO+OB
由函數(shù)圖象可知第一象限內(nèi)的拋物線的長(zhǎng)度比CD+DB還要長(zhǎng)
所以第一象限內(nèi)的拋物線的長(zhǎng)度要大于折線C→O→B的長(zhǎng)度
所以點(diǎn)P先到達(dá)點(diǎn)B.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式等重要知識(shí);(3)題中,由于Q點(diǎn)的移動(dòng)軌跡是條曲線,在求其移動(dòng)距離時(shí),能夠通過(guò)輔助線來(lái)化曲為直,間接的得出P、Q的路程大小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:拋物線y=ax2-4ax+m與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(1,0).
(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn),且△ABC的面積為3,求此拋物線的解析式;
(3)點(diǎn)D是(2)中開(kāi)口向下的拋物線的頂點(diǎn).拋物線上點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,把點(diǎn)D沿對(duì)稱(chēng)軸向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P;點(diǎn)M、N分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)四邊形PQMN的周長(zhǎng)最短時(shí),求PN+MN+QM的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•永春縣質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD與等邊△EFG按如圖所示放置:點(diǎn)B、G與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,F(xiàn)、B、G、C在x軸上,AB=3cm,BC=4
3
cm,EF=2
3
cm.
(1)求△EFG的周長(zhǎng);
(2)△EFG沿x軸向右以每秒
3
cm的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)G移至與點(diǎn)C重合時(shí),△EFG即停止運(yùn)動(dòng),設(shè)△EFG的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①若△EFG移動(dòng)過(guò)程中,與矩形ABCD的重合部分的面積Scm2,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)△EFG移動(dòng)(
3
+1)秒時(shí),E點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)的位置,一開(kāi)口向下的拋物線y=
1
a
x2+bx
過(guò)P、O兩點(diǎn)且與射線AD相交于點(diǎn)H,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,若OQ+PH為定值,試求出定值,并求出相應(yīng)的a的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)C(1,1)為圓心,2為半徑作圓,交x軸于A、B兩點(diǎn),開(kāi)口向下的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B,且其頂點(diǎn)P在⊙C上.
(1)求∠ACB的大。
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出A,B,P三點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)試確定此拋物線的解析式;
(4)在該拋物線上是否存在點(diǎn)D,使△ABD面積等于△ABC面積的3倍?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線的解析式
y=-x2(答案不唯一,只要二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)即可)
y=-x2(答案不唯一,只要二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)即可)

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