Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OA上，將線段CB繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，此時點(diǎn)D恰好落在直線AB上，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．

（1）求證：△BOC≌△CED；

（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當(dāng)B'C'經(jīng)過點(diǎn)D時，求△BCD平移的距離及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）

【解析】

（1）利用同角的余角相等可得出∠OBC=∠ECD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出BC=CD，結(jié)合∠BOC=∠CED=90°即可證出△BOC≌△CED（AAS）；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)OC=m，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m+3，m），利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出m值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，結(jié)合B′C′∥BC及點(diǎn)D在直線B′C′上可求出直線B′C′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得出△BCD平移的距離；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，-n+3），分CD為邊及CD為對角線兩種情況考慮，利用平行四邊形的對角線互相平分，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）證明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，

∴∠OCB+∠OBC=90°，∠OCB+∠ECD=90°，

∴∠OBC=∠ECD．

∵將線段CB繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，

∴BC=CD．

在△BOC和△CED中，，

∴△BOC≌△CED（AAS）．

（2）解：∵直線y=-x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）．

設(shè)OC=m，

∵△BOC≌△CED，

∴OC=ED=m，BO=CE=3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m+3，m）．

∵點(diǎn)D在直線y=-x+3上，

∴m=-（m+3）+3，解得：m=1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），

∴直線BC的解析式為y=-3x+3．

設(shè)直線B′C′的解析式為y=-3x+b，

將D（4，1）代入y=-3x+b，得：1=-3×4+b，解得：b=13，

∴直線B′C′的解析式為y=-3x+13，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（，0），

∴CC′=-1=，

∴△BCD平移的距離為．

（3）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，-n+3）．

分兩種情況考慮，如圖3所示：

①若CD為邊，當(dāng)四邊形CDQP為平行四邊形時，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，-n+3），

∴，解得： ，

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（0，）；

當(dāng)四邊形CDPQ為平行四邊形時，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，-n+3），

∴，解得：，

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（0，）；

②若CD為對角線，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，-n+3），

∴，解得：，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．

綜上所述：存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．