Question

如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個(gè)菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，連接EB，GD．
（1）求證：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=

3

，求GD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,菱形的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等和菱形的四邊相等證得三角形全等后即可證得兩條線段相等；
（2）連接BD交AC于點(diǎn)P，則BP⊥AC，根據(jù)∠DAB=60°得到BP=

1

2

AB=1，然后求得EP=2

3

，最后利用勾股定理求得EB的長(zhǎng)即可求得線段GD的長(zhǎng)即可．

解答：（1）證明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；

（2）解：連接BD交AC于點(diǎn)P，則BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=

1

2

AB=1，
AP=

AB2-BP2

=

3

，AE=AG=

3

，
∴EP=2

3

，
∴EB=

EP2+BP2

=

12+1

=

13

，
∴GD=

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等．