Question

13．綜合與實踐：“四扇紙風車”的制作
閱讀“四扇紙風車”的制作過程，解決下列問題：“四扇紙風車”是如何制作的呢？如圖1，首先，裁剪一塊邊長為12cm的正方形紙張；將花紋面朝下，使用你的尺子，畫兩條對角線（或沿其對角線對折）；找到對角線的交點O，用按釘按下做個標記；在被交點O所分成的四條線段上靠近交點O的三等分點處分別做標記；如圖2，然后由正方形的每個角開始延對角線剪開，到記號處停下；這樣就有8個可折疊的角，將不相鄰的四個角（不相鄰指兩角中間隔一角）折向中心；再用鐵絲或釘子把它固定在一根木棍上就制作好了．

任務(wù)一：
（1）如圖2是制作過程中在對角線上做好標記的示意圖，請求出正方形每個角處沿對角線剪開的長度；
（2）求出標記點E到正方形ABCD的頂點B的距離．
任務(wù)二：
若將“距交點O的$\frac{2}{3}$處做標記”改為“距交點O的$\frac{1}{2}$處做標記”并將不相鄰的四個角折疊、壓平，使角的頂點與交點O重合，其余條件不變．
（1）請在圖3中，把“四扇紙風車”的示意圖補充完整，并將重疊部分圖上陰影；
（2）求出（1）中補充完整后的“四扇紙風車”示意圖中重疊部分的面積．

Answer 1

分析 任務(wù)一（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ABO=45°，利用銳角三角函數(shù)求出OA，最后得出AE；
（2）連接BE，求出OE，再用勾股定理求出BE，即可；
任務(wù)二（1）由折疊的性質(zhì)直接畫出圖形即可；
（2）由折疊得出每一個陰影部分是等腰直角三角形，求出每一個等腰直角三角形的即即可．

解答 解：任務(wù)一：
（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ABO=45°，
在Rt△AOB中，sin∠AOB=$\frac{OA}{AB}$，
∴OA=ABsin∠AOB=12×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{2}{3}$OA=4$\sqrt{2}$，
∴正方形每個角處沿對角線剪開的長度為4$\sqrt{2}$；
（2）如圖2，

連接BE，
∵四邊形ABCD是正方形，OA=OB=6$\sqrt{2}$，
∴OE=6$\sqrt{2}$-4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴標記點E到正方形ABCD的頂點B的距離為4$\sqrt{5}$cm；
任務(wù)二：
（1）如圖所示：

（2）由題意可知：重疊部分三角形是等腰直角三角形，且四個三角形的面積相等．
其中一塊重疊部分的面積為：$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=9，
∴“四扇紙風車”示意圖中重疊部分的面積為：4×9=36cm²．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，三角形的面積公式，求出BE是解本題的關(guān)鍵．