Question

13．如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點，連接OB，且OB=6，過點B作⊙O的切線BD，切點為D，延長BO交⊙O于點A，過點A作切線BD的垂線，垂足為C．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）求CD的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由點B作⊙O的切線BD，過點A作切線BD的垂線，易證得OD∥AC，繼而證得∠1=∠2=∠3，則可證得結(jié)論；
（2）易證得△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，
∵BD是⊙O的切線，
∴OD⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
即AD平分∠BAC；

（2）解：BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{OB}{AB}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{BC}=\frac{6}{10}$，
解得：BC=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$．
∴CD=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．