Question

已知等腰Rt△ABC，AC=BC=2，D為射線CB上一動點，經(jīng)過點A的⊙O與BC相切于點D，交直線AC于點E．
（1）如圖1，當點D在斜邊AB上時，求⊙O的半徑；
（2）如圖2，點D在線段BC上，使四邊形AODE為菱形時，求CD的長．

Answer 1

（1）解：連接OD，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90°，
設圓O的半徑長為a，
∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴OD∥AC，AB==2，∠B=∠CAB=45°
∴OB=2-a，∠DOB=∠B=45°
∴2a²=（2√2-a）²
解得：a₁=4-2，a₂=-2-4，
∵a＞0，
∴a=4-2
即⊙O半徑長為4-2．

（2）解：連EO，
∵四邊形OAED為菱形，
∴AE=AO，
∵AO=EO，
∴△AEO為等邊三角形，
∴∠AEO=60°
同理△EOD是等邊三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∵∠ODC=90°，
∴∠EDC=30°，
∵∠C=90°，
∴ED=2EC，
∵ED=4-2，
∴CE=2-，
∴CD=CE=2-．
分析：（1）連接OD，設圓O的半徑長為a，求出AB，求出∠B=∠BOD=45°，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）得出等邊三角形AOE和EOD，求出∠EDC=30°，根據(jù)DE=4-2求出CE，解直角三角形求出即可．
點評：本題考查了解直角三角形，切線的性質，等腰直角三角形，等邊三角形的性質和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性質的應用，主要考查學生綜合運行性質進行推理和計算的能力，有一定的難度．