Question

3．從下列題目中任選一個(gè)，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)及現(xiàn)實(shí)生活，寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)短文，字?jǐn)?shù)控制在1000字以內(nèi)．
①平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱與美
②生活中的函數(shù)關(guān)系
③一堂有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)課
④有趣的勾股數(shù)
⑤數(shù)學(xué)與奧運(yùn)
⑥通過(guò)參加本屆“學(xué)用杯”競(jìng)賽，你對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性有何看法？請(qǐng)結(jié)合自己的學(xué)習(xí)生活以及“學(xué)用杯”初、決賽，自擬題目，談一下自己的看法．

Answer 1

分析 這是關(guān)于數(shù)學(xué)的應(yīng)用性看法的數(shù)學(xué)短文，注意聯(lián)系相關(guān)知識(shí)及現(xiàn)實(shí)生活，學(xué)以致用．

解答 解：有趣的勾股數(shù)
在學(xué)習(xí)和運(yùn)用勾股定理時(shí)，如果深入了解一下勾股數(shù)的一些特征，不僅能十分方便地熟記勾股弦的相關(guān)數(shù)值并運(yùn)用到三角和幾何里，而且使我們對(duì)勾股數(shù)的認(rèn)識(shí)和掌握更加方便、易記．
我們知道，在一個(gè)直角三角形中，斜邊為弦，兩直角邊中短者為勾，長(zhǎng)者為股．它們滿足勾²+股²=弦²，當(dāng)勾，股，弦都是整數(shù)時(shí)，比如當(dāng)勾=5，股=12，弦=13時(shí)，我們稱之為一組“勾股數(shù)”或“畢達(dá)哥拉斯數(shù)”．大家常說(shuō)的“勾三股四弦五”就是一組勾股數(shù)．我們可以舉出無(wú)窮多組的勾股數(shù)來(lái)，如：
6²+8²=10²             7²+24²=25²           8²+15²=17² 
9²+40²=41²           17²+144²=145²        20²+21²=29²…．、
    大家是否想到這些勾股數(shù)尚有不少有趣的特征呢．
特征1：任意一組勾股數(shù)中，必有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)；必有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)；必有一個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)．
如：6，8，10是一組勾股數(shù)，其中6是3的倍數(shù)，8是4的倍數(shù)，10是5的倍數(shù)．又如9，40，41是一組勾股數(shù)，其中9是3的倍數(shù)，40既是4的倍數(shù)也是5的倍數(shù)．
特征2：在所有的勾股數(shù)中，其中沒(méi)有一組的三個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的．
下面我們采用“反證法”來(lái)證明．
假設(shè)一組勾股數(shù)都是奇數(shù)為：2X₁+1，2X₂+1，2X₃+1（X₁，X₂，X₃ 皆為整數(shù)）
它們分別平方后得到：（2X₁+1）²=4 X₁² +4 X₁ +1，（2X₂+1）²=4 X₂² +4 X₂ +1，
（2X₃+1）²=4 X₃² +4 X₃ +1
把這三個(gè)數(shù)中的任意兩個(gè)加起來(lái)，如：（2X₁+1）²+（2X₂+1）²=2（2X₁² +2X₂² +2X₁ +2 X₂+1）其和是一個(gè)偶數(shù)，而（2X₃+1）² 卻是一個(gè)奇數(shù)，二者顯然不等．
由此可見(jiàn)三個(gè)都是奇數(shù)的勾股數(shù)是不存在的．
特征3：若a，b，c是一組勾股數(shù)，則ka，kb，kc（k是任意自然數(shù)）也是一組勾股數(shù)．
這個(gè)特征的證明則更簡(jiǎn)單：由a²+b²=c²，有（ka）²+（kb）²=k²（a²+b²）=（kc）²．
從而得出（ka）²+（kb）²=（kc）²．
這個(gè)特征告訴我們，只要知道一組勾股數(shù)，便可得到無(wú)數(shù)多組的勾股數(shù)．盡管如此，我們卻只能得到部分勾股數(shù)，其余的勾股數(shù)是否能用簡(jiǎn)單的代數(shù)公式給出呢？為此，我們?cè)賹⒁恍┕垂蓴?shù)進(jìn)行歸類考察：
3，4，5            7，24，25         5，12，13         9，40，41
6，8，10           10，24，26        8，15，17         12，35，37
從中可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的組成規(guī)律，
特征4：象第一組，如果第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方減1再除以2，第三個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)加1．寫(xiě)成公式：若M為奇數(shù)，則M，$\frac{{M}^{2}-1}{2}$，$\frac{{M}^{2}+1}{2}$，就是一組勾股數(shù)．
同樣，我們可以寫(xiě)成第二組的勾股數(shù)公式：
N，（$\frac{N}{2}$）²-1，（$\frac{N}{2}$）²+1，（N是偶數(shù)）
了解勾股數(shù)的這些有趣特征，就對(duì)勾股數(shù)有了較深刻的認(rèn)識(shí)，也就掌握了它們的組成規(guī)律．在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理時(shí)靈活運(yùn)用這些有趣的特征，可收事半功倍之效．

點(diǎn)評(píng) 考查了應(yīng)用類問(wèn)題，本題是開(kāi)放型寫(xiě)作題目，比較新穎，答案不唯一，同學(xué)們可以自由發(fā)揮．